Эвристика Липшица – Гёльдера

Фрактальная размерность является по своему происхождению локальным свойством, несмотря на то, что в настоящем эссе локальные свойства оказывают влияние на свойства глобальные. Таким образом, имея дело с графиком во всех иных отношениях произвольной непрерывной функции , следует соотносить размерность  с другими локальными свойствами. Одним из наиболее полезных локальных свойств является показатель Липшица – Гёльдера (ЛГ) . Суть условия ЛГ при  состоит в том, что

      при    ;

аналогично оно выглядит и для случая . Глобальный ЛГ – показатель в интервале  имеет вид . Если функция  не является постоянной, .

ЛГ – эвристика и размерность . Если известен показатель , то количество квадратов со стороной , необходимых для покрытия графика функции  между моментами времени  и , приблизительно равно . Таким образом, можно покрыть график функции  на участке  с помощью  квадратов и приблизительно оценить размерность функции как . Этот способ оценки  мы будем называть эвристикой Липшица – Гёльдера. Он устойчив и весьма эффективен.

Примеры. Если функция  дифференцируема для всех  между 0 и 1, а точки, в которых , в расчет не принимаются, то на всем интересующем нас интервале , и количество квадратов, необходимых для покрытия графика функции, равно . Отсюда , что, конечно же, верно.

Если  - броуновская функция (обыкновенная или дробная), то можно показать, что . Эвристическое значение  приблизительно равно , т.е. , что опять же согласуется с известной размерностью .

Харди [194]  показывает, что для функций, описанных в разделе функция Вейерштрасса … . Следовательно, можно предположить, что их размерность Хаусдорфа – Безиковича равна .

Совершенно иначе обстоит дело с канторовой лестницей (см. рис. 125). Областью определения функции  являются здесь только те значения , которые принадлежат фрактальной пыли с фрактальной размерностью , а показатель  зависит от  . Разделим интервал  на  временных промежутков длины . В  этих промежутков , в других промежутках показатель  не определен, однако если повернуть координатные оси на небольшой угол, то . Отсюда эвристически получаем для количества покрывающих квадратов значение , а для размерности . Это в самом деле так, что и отмечено в пояснении к рис. 125.

Кроме того, для суммы броуновской функции и канторовой лестницы с  получаем  и , следовательно, .

Резюме. Подтверждение эвристически полученного неравенства  можно найти в работах [317] и [30]. См. также [255], с. 27.

Об определении «фрактала». В разделе фракталы упоминается о желательности расширения рамок определения термина фрактал с тем, чтобы они включали и канторову лестницу. Может быть, нам следует сказать так: кривая фрактальна, если показатель , а показатель  близок к  при «достаточно многих» значениях ? Мне бы не хотелось следовать этим путем, так как подобные расширения довольно громоздки и, кроме того, в них проводится принципиальное различие между случаями  и .

Функции из прямой в плоскость. Возьмем две непрерывные функции  и  с ЛГ – показателями  и . Эвристически рассуждая, можно предположить, что для покрытия графика векторной функции от координат  и  на участке  потребуется не больше  кубов со стороной ; следовательно, . Размерность обыкновенного броуновского следа из прямой в плоскость  вполне согласуется с этим неравенством.

Проекции. Построим непрерывный след, проецируя функцию  на плоскость . При  эвристика подсказывает, что для покрытия графика нам понадобится не более  квадратов со стороной ; следовательно, . Рассмотрим аналогичным образом непрерывный след функции , координаты которой имеют одинаковые ЛГ – показатели . Эвристическое рассуждение дает . При  непрерывный след функции  следует покрывать квадратами со стороной , значит:

.

Все эти выводы нашли подтверждение в [317].