§ 89. Изображение в линзе точек, лежащих на главной оптической оси. Формула линзы.

Пусть точечный источник света находится в точке  на главной оптической оси линзы, на расстоянии  от ее оптического центра  (рис. 197). Рассмотрим, как будет преломляться в линзе узкий пучок лучей, примыкающий к прямой , являющейся осью этого пучка.

Пусть один из лучей () светового пучка падает на первую преломляющую поверхность линзы в точке , находящейся на высоте  над осью. То обстоятельство, что мы ограничиваемся узким пучком лучей, означает, что к мало по сравнению с расстоянием  от источника до линзы. С другой стороны, так же как и в § 88, будем считать, что к мало по сравнению с , а следовательно, и по сравнению с радиусами  и  ограничивающих линзу поверхностей. Угол, образуемый лучом  с осью, обозначим . Так как  мало, то и угол  мал. Преломленный луч пойдет по направлению  и, преломившись снова на второй ограничивающей линзу поверхности, выйдет из линзы по направлению , составляющему с осью угол . Обозначим через  расстояние от оптического центра линзы до точки , в которой преломленный луч пересекает главную ось.

Как и в предыдущем параграфе, проведем через точки  и  плоскости, касательные к преломляющим поверхностям линзы. Эти плоскости образуют тонкую призму  с преломляющим умом . Вместо того чтобы рассматривать преломление луча  в линзе, будем рассматривать преломление того же луча в тонкой призме .

Выбранный нами луч после преломления отклонится от первоначального направления на угол а, который по формуле тонкой призмы равен

,                                                               (89.1)

где  — показатель преломления вещества, из которого сделана  линза.

Рассмотрим также луч , идущий параллельно главной оси и падающий на линзу в точке . Преломление такого луча уже рассмотрено в § 88 (условие малости  здесь соблюдено). Мы знаем, что после преломления в линзе этот луч выйдет из точки  под углом  к оси и пройдет через главный фокус  на расстоянии  от оптического центра.

Рис. 197. Преломление в линзе луча , выходящего из точки  на оси. Угол  и  толщина линзы сильно преувеличены

Точки  и  очень близки друг к другу, так что призмы, образованные касательными в точке  и точках  или , практически не различаются и имеют один и тот же преломляющий угол , Угол , на который отклонится этот луч от первоначального направления после преломления в тонкой призме, равен опять , т. е. равен углу . С другой стороны, этот угол  равен, очевидно, углу  (рис. 197).

Таким образом, получаем

.                                                      (89.2)

Но угол  как внешний угол в треугольнике  равен сумме . Итак, имеем

                                                                                 (89.3)

Лучи ,  и  идут под небольшими углами к оси, т. е. углы ,  и  малы. Заменяя, как и в предыдущем параграфе, синусы малых углов самими углами и пренебрегая толщиной линзы и разницей в высоте точек ,  и  над  осью, можно приближенно  написать:

.                  (89.4)

Подставляя эти приближенные равенства в формулу (89.3), находим

,                                                                             (89.5)

или, сокращая на общий множитель ,

.                                                                             (89.6)

В правой части полученного выражения стоит величина , которая, как мы видели в предыдущем параграфе, зависит только от свойств линзы — от показателя преломления вещества, из которого сделана линза, и от радиусов кривизны ее преломляющих поверхностей.

То обстоятельство, что в формулу (89.6) не входит величина , позволяет сделать очень важные выводы, а именно, что не только луч , но и всякий другой луч, выходящий из точки , пройдет после преломления в линзе через одну и ту же точку , хотя каждый из этих лучей падает на линзу на разной высоте над осью. Единственное, но весьма существенное ограничение, которое мы накладываем на рассматриваемые лучи, состоит в том, что все они составляют с осью линзы малые углы.

Таким образом, все лучи узкого пучка, выходящие из точки , соберутся после преломления в линзе снова водной точке , являющейся изображением точки . Мы доказали, следовательно, что образующееся в тонкой линзе изображение точечного источника, лежащего на главной оси линзы, полученное с помощью достаточно узкого пучка лучей, является точкой.

Изображения, при получении которых выполнено условие передачи каждой точки объекта одной точкой изображения, носят название стигматических. Изображения, у которых это условие не соблюдено, носят название астигматических.

Отметим, что в силу закона обратимости световых лучей (§82) положения источника света  и его изображения  обратимы, т. е., поместив источник в , мы получим его изображение в точке . Точки  и  называются сопряженными.

В геометрической оптике особое значение имеет задача получения стигматических изображений. Степень стигматичности изображений определяет качество служащих для их получения оптических систем. Нарушение оптической системой стигматичности падающих на нее световых пучков ведет к расплывчатости изображения. В дальнейшем при изучении простейших оптических систем мы будем уделять большое внимание вопросу о стигматичности даваемых ими изображений.

Полученная нами формула (89.6) связывает между собой расстояния от оптического центра трех точек, находящихся на главной оси линзы: источника , его изображения  и фокуса . Это — основная формула тонкой линзы.