1.2.5. Модели каналов связи и их математическое описание

Точное математическое описание любого реального канала связи обычно весьма сложное. Вместо этого используют упрощенные математические модели, которые позволяют выявить важнейшие закономерности реального канала.

Рассмотрим наиболее простые и широко используемые связи модели каналов.

Непрерывные каналы. Идеальный канал без помех вносит искажения, связанные с изменением амплитуды и временного положения сигнала и представляет собой линейную цепь с постоянной передаточной функцией, обычно сосредоточенной в ограниченной полосе частот. Допустимы любые входные сигналы, спектр которых лежит в определенной полосе частот , имеющие ограниченную среднюю мощность  [6, 32]. Эта модель используется для описания каналов малой протяженности с закрытым распространением сигналов (кабель, провод, волновод, световод и т. д.).

Канал с гауссовским белым шумом представляет собой идеальный канал, в котором на сигнал  накладывается помеха:

Коэффициент передачи  и запаздывание  считаются постоянными и известными в точке приема;  – аддитивная помеха. Такая модель, например, соответствует радиоканалам, с приемо-передающими антеннами работающими и находящимися в пределах прямой видимости.

Гауссовский канал с неопределенной фазой сигнала

Эта модель отличается от предыдущей модели тем, что в ней запаздывание является случайной величиной. Для узкополосных сигналов выражение (1.4) при постоянном  и случайных  можно представить в виде [6, 32]:

где    – преобразование Гильберта от сигнала ;  – случайная фаза.

Распределение вероятностей  предполагается заданным, чаще всего равномерным на интервале от  до . Эта модель удовлетворительно описывает те же каналы, что и предыдущая, если фаза сигнала в них флуктуирует. Флуктуации фазы обычно вызываются небольшими изменениями протяженности канала, свойств среды, в которой проходит сигнал, а также фазовой нестабильностью опорных генераторов.

Дискретно-непрерывные каналы. Дискретно-непрерывный канал имеет дискретный вход и непрерывный выход. Примером такого канала является канал, образованный совокупностью технических средств между выходом кодера канала и входом демодулятора (см. рис. 1.3). Для его описания необходимо знать алфавит входных символов , , вероятности появления символов алфавита , полосу пропускания непрерывного канала , входящего в рассматриваемый канал и плотности распределения вероятностей (ПРВ)  появления сигнала  на выходе канала при условии, что передавался символ .

Зная вероятности  и ПРВ  по формуле Байеса можно найти апостериорные вероятности передачи символа :

Решение о переданном символе  обычно принимается из условия максимума .

Дискретные каналы. Примером дискретного канала без памяти может служить m-ичный канал. Канал передачи полностью описывается если заданы [20, 21] алфавит источника , , вероятности появления символов алфавита , скорость передачи символов , алфавит получателя ,  и значения переходных вероятностей  появления символа  при условии передачи символа .

Первые две характеристики определяются свойствами источника сообщений, скорость  – полосой пропускания непрерывного канала, входящего в состав дискретного. Объем алфавита выходных символов зависит от алгоритма работы решающей схемы; переходные вероятности  находятся на основе анализа характеристик непрерывного канала.

Стационарным называется дискретный канал, в котором переходные вероятности  не зависят от времени.

Дискретный канал называется каналом без памяти, если переходные вероятности  не зависят от того, какие символы передавались и принимались ранее.

В качестве примера рассмотрим двоичный канал (рис. 1.5). В этом случае , т.е. на входе канала алфавит источника и алфавит получателя состоит из двух символов «0» и «1».

Стационарный двоичный канал называется симметричным, если алфавиты на входе и выходе совпадают. Каждый переданный кодовый символ может быть принят ошибочно с фиксированной вероятностью  и правильно с вероятностью .

Необходимо отметить, что в общем случае в дискретном канале объемы алфавитов входных и выходных символов могут не совпадать. Примером может быть канал со стиранием (рис. 1.6). Алфавит на его выходе содержит один добавочный символ по сравнению с алфавитом на входе. Этот добавочный символ (символ стирания «») появляется на выходе канала тогда, когда анализируемый сигнал не удается отождествить ни с одним из передаваемых символов. Стирание символов при применении соответствующего помехоустойчивого кода позволяет повысить помехоустойчивость.

Большинство реальных каналов имеют «память», которая проявляется в том, что вероятность ошибки в очередном символе зависит от того, какие символы передавались до него и как они были приняты. Первый факт обусловлен межсимвольными искажениями, являющимися результатом рассеяния сигнала в канале, а второй – изменением отношения сигнал-шум в канале или характера помех.

В постоянном симметричном канале без памяти условная вероятность ошибочного приема ()-го, символа если -й символ принят ошибочно, равна безусловной вероятности ошибки. В канале с памятью она может быть больше или меньше этой величины.

Наиболее простой моделью двоичного канала с памятью является марковская модель, которая задается матрицей переходных вероятностей:

где    – условная вероятность принять ()-й символ ошибочно, если -й принят правильно;  – условная вероятность принять ()-й символ правильно, если -й принят правильно;  – условная вероятность принять ()-й символ ошибочно, если -й принят ошибочно;  – условная вероятность принять ()-й символ правильно, если -й принят ошибочно.

Безусловная (средняя) вероятность ошибки в рассматриваемом канале  должна удовлетворять уравнению:

                                        или

                           .

Данная модель имеет достоинство – простоту использования, не всегда адекватно воспроизводит свойства реальных каналов. Большую точность позволяет получить модель Гильберта для дискретного канала с памятью. В такой модели канал может находиться в двух состояниях  и . В состоянии  ошибок не происходит; в состоянии  ошибки возникают независимо с вероятностью . Также считаются известными вероятности перехода  из состояния  в  и вероятности перехода  из состояния  в состояние . В этом случае простую марковскую цепь образует не последовательность ошибок, а последовательность переходов:

.

При этом достаточно легко выразить безусловные вероятности нахождения канала в состояниях  и :

,         .

Безусловная вероятность ошибки в этом случае может быть определена по формуле:

.

Наиболее часто при использовании модели Гильберта для двоичного канала полагают , т.е. состояние  рассматривается как полный обрыв связи. Это согласуется с представлением о канале, в котором действуют коммутационные помехи.

Возможен другой подход к построению математических моделей каналов, при котором вся предыстория до некоторого фиксированного момента времени  заменяется заданием некоторого начального состояния цепи. Зная характеристики цепи, начальное состояние и сигнал, действующий только на промежутке от  до , можно определить сигнал на выходе и новое состояние цепи в любой момент времени .

Состоянием цепи называется минимальное множество величин, в которое входит  элементов, однозначно определяющих поведение цепи в момент времени . Элементы этого множества называют переменными состояния, которые обычно рассматривают как составляющие компоненты -мерного вектора. Для любой цепи можно записать два уравнения, позволяющих по состоянию в момент  и сигналу, поступающему на вход, найти выходной сигнал и состояние в момент . Эти матричные уравнения называют уравнением состояния и уравнением наблюдения.