§ 5. Поле маленькой петли; магнитный диполь

Воспользуемся методом векторного потенциала, чтобы найти магнитное поле маленькой петли с током. Как обычно, под словом «маленькая» мы просто подразумеваем, что нас интересуют поля только на больших расстояниях по сравнению с размером петли. Как мы увидим, любая петелька представляет собой «магнитный диполь». Это значит, что она создает магнитное поле, подобное электрическому полю от электрического диполя.

Фигура 14.6. Прямоугольная проволочная петля с током .

Чему равно магнитное поле в точке ? ().

Возьмем сначала прямоугольную петлю и выберем оси координат, как показано на фиг. 14.6. Токов в направлении  нет, поэтому  равно нулю. Есть токи в направлении  по обеим сторонам прямоугольника, длина которых . В каждой стороне плотность тока и ток однородны. Поэтому решение для  в точности подобно электростатическому потенциалу от двух заряженных палочек (фиг. 14.7). Поскольку палочки имеют противоположные заряды, их электрический потенциал на больших расстояниях есть как раз дипольный потенциал (см. гл. 6, § 5). В точке  на фиг. 14.6 потенциал равен

,                                   (14.28)

где  — дипольный момент распределения зарядов. В данном случае дипольный момент равен полному заряду на одной палочке, умноженному на расстояние между ними:

                                  (14.29)

Дипольный момент смотрит в отрицательном направлении , поэтому косинус угла между  и  равен  (где  — координата ). Итак, мы имеем

Фигура 14.7. Распределение  в проволочной петле с током, изображенной на фиг. 14.6.

Заменяя  на , сразу же получаем :

                              (14.30)

С помощью тех же рассуждений:

                                 (14.31)

Снова  пропорционально , а  пропорционально , так что векторный потенциал (на больших расстояниях) идет по кругу вокруг оси , циркулируя таким же образом, как ток  в петле (фиг. 14.8).

Фигура 14.8. Векторный потенциал маленькой петли с током, расположенной в начале координат (в плоскости ). Поле магнитного диполя.

Величина  пропорциональна , т. е. току, умноженному на площадь петли. Это произведение называется магнитным дипольным моментом (или часто просто «магнитным моментом») петли. Мы обозначим его через :

                                   (14.32)

Векторный потенциал маленькой плоской петельки любой формы (круг, треугольник и т. п.) также дается уравнениями (14.30) и (14.31), если заменить  на

                                  (14.33)

Мы предоставляем вам право это доказать.

Нашему уравнению можно придать векторную форму, если определить вектор  как нормаль к плоскости петли с положительным направлением, определяемым по правилу правой руки (см. фиг. 14.8). Тогда можно написать

                            (14.34)

Нам еще нужно найти . Пользуясь (14.33) и (14.34), а также (14.4), получаем

                         (14.35)

(под многоточием мы подразумеваем ),

,                            (14.36)

Компоненты поля  ведут себя точно так же, как компоненты поля  для диполя, ориентированного вдоль оси  [см. уравнения (6.14) и (6.15), а также фиг. 6.5, стр. 115]. Вот почему мы называем петлю магнитным диполем. Слово «диполь» в применении к магнитному полю немного запутывает, потому что нет отдельных магнитных «полюсов», соответствующих электрическим зарядам. Магнитное «дипольное поле» создается не двумя «зарядами», а элементарной петлей с током.

В общем-то довольно любопытно, что, начав с совсем разных законов,  и , можно прийти к полю одного и того же вида. Почему так получается? Потому что дипольные поля возникают, только когда мы находимся далеко от всех токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для  и  одинаковы: у обоих дивергенция и ротор равны нулю. Следовательно, они дают одни и те же решения. Однако источники, конфигурацию которых мы описываем с помощью дипольных моментов, физически совершенно различны. В одном случае это циркулирующий ток, а в другом — пара зарядов, один над, а другой под плоскостью петли для соответствующего поля.