§ 3. Состояния с n бозе-частицами

Распространим наш результат на тот случай, когда имеются  частиц. Вообразим случай, изображенный на фиг. 2.4. Есть  частиц  которые рассеиваются в направлениях . Все  направлений смотрят в небольшой счетчик, который стоит где-то поодаль. Как и в предыдущем параграфе, выберем нормировку всех амплитуд так, чтобы вероятность того, что каждая частица, действуя по отдельности, попадет в элемент поверхности  счетчика, была равна

Фигура 2.4. Рассеяние  частиц в близкие конечные состояния.

Сперва предположим, что частицы все различимы, тогда вероятность того, что  частиц будут одновременно зарегистрированы в  разных элементах поверхности, будет равна

                                 (2.15)

Опять примем, что амплитуды не зависят от того, где в счетчике расположен элемент  (он считается малым), и обозначим их просто . Вероятность (2.15)   обратится в

                 (2.16)

Прогоняя каждый элемент  по всей поверхности  счетчика, получаем, что (разные) — вероятность одновременно зарегистрировать  разных частиц — равна

                            (2.17)

Это просто произведение вероятностей попаданий в счетчик каждой из частиц по отдельности. Все они действуют независимо — вероятность попасть для одной из них не зависит от того, сколько других туда попало.

Теперь предположим, что все эти частицы — идентичные бозе-частицы. Для каждой совокупности направлений  существует много неразличимых возможностей. Если бы, скажем, частиц было только три, появились бы следующие возможности:

Возникает шесть различных комбинаций. А если частиц , то будет  разных, хотя и не отличимых друг от друга, комбинаций; их амплитуды положено складывать. Вероятность того, что  частиц будут зарегистрированы в  элементах поверхности, тогда будет равна

                                       (2.18)

И скова мы предположим, что все направления столь близки друг к другу, что можно будет положить  а и то же сделать ; вероятность (2.18) обратится в

                     (2.19)

Когда каждый элемент  прогоняют по площади  счетчика, то всякое мыслимое произведение элементов поверхности считается  раз; учтем это, разделив на , и получим

,

или

                         (2.20)

Сравнивая это с (2.17), видим, что вероятность совместного счета  бозе-частиц в  раз больше, чем получилось бы в предположении, что все частицы различимы. Все это можно подытожить так:

).                          (2.21)

Итак, вероятность в случае бозе-частиц в  раз больше, чем вы получили бы, считая, что частицы действовали независимо. Мы лучше поймем, что это значит, если спросим: чему равна вероятность того, что бозе-частица перейдет в некоторое состояние, в котором уже находятся  других частиц? Обозначим добавленную частицу буквой . Если всего, включая , имеется  частиц, то (2.20) обращается в

                                (2.22)

Это можно записать так:

,                             (2.23)

или

Этот результат можно истолковать следующим образом. Число  — это вероятность заполучить в счетчик частицу , если никаких других частиц нет;  — это шанс того, что там уже есть  других бозе-частиц. Значит, (2.23) говорит нам, что когда у нас уже есть  других идентичных друг другу бозе-частиц, то вероятность того, что еще одна частица придет в то же состояние, усиливается в  раз. Вероятность получить еще один бозон там, где уже есть их  штук, в  раз больше той, какая была бы, если бы там раньше ничего не было. Наличие других частиц увеличивает вероятность заполучить еще одну.