Задачи типа III. Неравномерное криволинейное движение несвободной материальной точки

(задачи 802, 803, 816—820, 822)

В этом случае при решении задач по принципу Даламбера к движущейся материальной точке необходимо прикладывать две силы инерции: тангенциальную и нормальную . Уравнения равновесия лучше составлять так, чтобы в каждое уравнение входила только одна из этих сил инерции, для чего координатные оси следует направлять по касательной и главной нормали к траектории движущейся точки.

В выражение нормальной силы инерции входит величина если скорость v в данной задаче неизвестна, то в большинстве случаев для ее нахождения проще всего применить теорему кинетической энергии материальной точки.

Пример 153. Математический маятник длиной I и весом Р отвели на угол от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость , направленную перпендикулярно к нити вверх. Найти натяжение нити маятника в зависимости от угла нити с вертикалью (рис. 190).

Рис. 190.

Решение. Четыре силы — вес маятника , реакция нити N, касательная и нормальная силы инерции , согласно принципу Даламбера, уравновешиваются. Поэтому, проектируя эти силы на нормаль траектории маятника (на направление радиуса МО), получим

так как

то из этого уравнения находим

Чтобы найти скорость v маятника, применим на участке пути теорему о кинетической энергии:

Отсюда и, следовательно,

Но , а поэтому

Пример 154. Материальная частица находится внутри неподвижного цилиндра радиусом R. В начальный момент частица находится в положении и получает вертикальную скорость . Коэффициент трения частицы о поверхность цилиндра равен f. Пренебрегая действием силы тяжести, найти зависимость между скоростью v частицы и углом , определяющим ее положение внутри цилиндра (рис. 191).

Решение. На частицу действуют: нормальная реакция цилиндра N и сила трения . Применяя принцип Даламбера, прикладываем к частице тангенциальную и нормальную силы инерции. Приравнивая нулю сумму проекций этих сил на нормаль, получим:

Рис. 191.

или

Согласно закону Кулона,

Далее применяем теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме:

Отсюда, учитывая, что , имеем: или .

Интегрируем

откуда