Главная > Математика > Лекции по аналитической геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1. О линиях, определяемых уравнениями второй степени с двумя неизвестными

1. Приведение квадратичной формы от двух переменных к каноническому виду при помощи преобразований прямоугольных координат. Первый шаг заключается в том, чтобы поворотом начального прямоугольного репера на некоторый угол а преобразовать квадратичную форму старших членов многочлена

к каноническому виду

Итак, делаем преобразование координат

Получаем тождественно

где

(3)

Определим угол требованием, чтобы было т. е. требованием

или

(4)

причем естественно предположить, что (при нечего было бы делать — форма уже имела бы вид Из (4) получаем

Так как то по формуле (5) нужный нам угол а всегда можно определить.

Замечание. Можно определить угол и так: перепишем (4) в виде

т. е.

откуда

Так как может принимать всевозможные действительные значения, то найти нужное а всегда можно.

Полагая для сокращения письма сформулируем полученный результат.

Поворотом координатной системы на угол а (определяемый из (5) или (5), можно преобразовать квадратичную форму

к каноническому виду

а весь многочлен — к виду

Оба коэффициента и не могут одновременно быть нулями: если бы было то многочлен второй степени при преобразовании (2) перешел бы в многочлен первой степени, что, как мы знаем, невозможно.

Итак, возможны два основных случая:

.

2° Один из двух коэффициентов отличен от нуля, другой равен нулю.

2. Первый основной случай: При переносе начала координат в какую-нибудь точку т. е. при преобразовании

многочлен принимает вид

где свободный член есть (гл. XV, § 2)

Подберем теперь такие координаты унового начала чтобы коэффициенты при и в (6) обратились в нуль, т. е. чтобы

Так как то уравнения (7) дают нужные значения

для Итак, в системе координат Оеег первоначальное уравнение нашей кривой преобразуется к виду

Переходим к исследованию уравнения (8). Имеем два случая: Случай А — гиперболический: коэффициенты разных знаков.

Случай Б — эллиптический: коэффициенты одного и того же знака.

А. Гиперболический случай. Пусть сначала один из коэффициентов имеет тот же знак, что и пусть это будет, например, тогда противоположны по знаку. Переписываем уравнение (8) в виде

Знаменатель — в нервом члене есть положительное число; обозначаем его через знаменатель — отрицателен; обозначаем его через . Уравнение (8), т. е. уравнение (8), приняло вид

Это — каноническое уравнение гиперболы.

Если в гиперболическом случае то можно без ограничения общности предположить, что введем обозначения уравнение (8) переписывается в виде

Это — уравнение пары прямых, пересекающихся в начале координат О. Уравнение (9) считаем каноническим уравнением кривой, распадающейся на пару действительных пересекающихся прямых.

Итак, в гиперболическом случае уравнение (8) определяет гиперболу, или пару пересекающихся прямых.

Б. Эллиптический случай. Теперь одного знака. Снова предполагаем сначала, что . Если общий знак чисел и противоположен знаку то, переписав уравнение (8) в виде (8), видим, что оба знаменателя положительны; обозначив их соответственно через получим

— каноническое уравнение эллипса с полуосями .

Если же общий знак и совпадает со знаком то знаменатели в и мы получаем уравнение

Это — уравнение «мнимого эллипса», или эллипса с мнимыми полуосями нет одной действительной точки плоскости, которая бы этому уравнению удовлетворяла.

Пусть теперь в эллиптическом случае Уравнение (8) принимает вид

Так как и одного знака, то это уравнение можно переписать в виде

Это — каноническое уравнение кривой, распадающейся на пару пересекающихся мнимых сопряженных прямых; оно удовлетворяется единственной действительной точкой О — точкой пересечения двух мнимых сопряженных прямых

Итак, в эллиптическом случае уравнение (8) — а значит, и начальное уравнение ( - определяет или обычный эллипс («действительный»), или «мнимый» эллипс, или пару мнимых сопряженных прямых с одной общей действительной точкой.

3. Второй основной случай: Пусть из коэффициентов

в уравнении (1') один, например отличен от нуля, а Тогда в системе координат уравнение

приняло бы вид

Имеются две дальнейшие возможности:

А. . Тогда уравнение (12) можно решить относительно т. е. представить его в виде

— наша кривая есть график трехчлена второй стеиени, т. е. пара бола.

Б. Тогда уравнение (12) есть

Это — квадратное уравнение относительно оно имеет два решения:

— мы имеем пару параллельных прямых (14) — действительных, если корни квадратного уравнения (13) действительны, мнимых и сопряженных, если таковы корни уравнения (13). Наконец, если то говорят, что уравнение (12), а значит и уравнение (1), опредстяет пару слившихся (или совпадающих) действительных прямых.

Подведем общий итог.

Всякая кривая второго порядка есть

или эллипс (действительный или мнимый),

или гипербола,

или парабола,

или пара прямых: пересекающихся (действительных или мнимых

сопряженных),

параллельных (в собственном смысле) (действительных или мнимых сопряженных),

совпадающих (действительных).

Приведенное доказательство этого результата содержит в себе и способ определения вида кривой по ее уравнению, однако практически удобным этот способ не является; удобный способ будет дан в следующих параграфах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление