Главная > Математика > Лекции по аналитической геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Конусы второго порядка

Под действительным конусом второго порядка понимается поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением

Это уравнение и система координат, в которой данный конус им задается, называются каноническими для этого конуса (рис. 200).

Рис. 200.

Рис. 201.

Поверхность, получающаяся от вращения вокруг заданной прямой какой-нибудь прямой d, пересекающейся с прямой , называется круглим конусом или конусом вращения. Выведем уравнение круглого конуса. Для этого примем прямую (произвольно ориентированную) за ось аппликат, точку ее пересечения с прямой d — за начало координат, а плоскость, проходящую через прямые , — за плоскость прямоугольной системы координат (рис. 201).

Уравнение прямой d в плоскости можем записать в виде где - острый угол наклона прямой d к оси . Тогда уравнение поверхности вращения будет

или

где . Уравнение (2) и есть каноническое уравнение круглого конуса.

Рис. 202.

Рис. 203.

Плоскость, параллельная плоскости пересекает конус (2) по окружности (например, плоскость окружности Если немного наклонить эту плоскость, то в сечении получится эллипс (рис. 202) (читателю предлагается проверить это).

Плоскости, параллельные плоскостям пересекают конус (2) но гиперболам: например, в сечении конуса (2) плоскостью получаем кривую

т. е., полагая гиперболу (рис. 203)

Не только эллипс и гипербола, но и парабола является плоским сечением круглого конуса (2). Для простоты положим тогда уравнение конуса будет

Докажем, что параболой является, например, сечение конуса (4) плоскостью , заданной уравнением

(плоскость эта параллельна образующей конуса (4) (рис. 204)). Сделаем преобразование прямоугольных координат:

В новой системе координат плоскость я является координатной плоскостью а поверхность (4) получает уравнение

поэтому ее сечение плоскостью есть парабола

Итак, и эллипс, и гипербола, и парабола являются сечениями конуса (даже круглого конуса) второго порядка. Поэтому эти кривые и называются коническими сечениями.

Рис. 204.

К плоским сечениям поверхностей второго порядка мы еще вернемся с более общей точки зрения в главе XIX.

Наряду с действительными конусами второго порядка существуют еще мнимые конусы, которые в канонической для них системе координат имеют уравнение

Единственная действительная точка мнимого конуса есть точка , Их дальнейшее изучение интереса для нас не представляет.

Заметим, наконец, что цилиндрические и конические поверхности второго порядка (охватывающие, как мы видели, в виде частного случая и все распадающиеся поверхности второго порядка) будут объединены под общим наименованием вырождающихся поверхностей второго порядка; им — в качестве невырождающихся поверхностей — противополагаются эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды, к определению и краткому описанию которых мы и переходим.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление