Главная > Математика > Лекции по аналитической геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Аффинная классификация поверхностей второго порядка

Докажем, что любые две поверхности, принадлежащие к какому-нибудь одному из перечисленных в конце предыдущего параграфа классов, аффинно эквивалентны между собою.

Для этого достаточно показать, что каждая из перечисленных поверхностей аффинно эквивалентна некоторой простейшей поверхности того же наименования.

Возьмем эллипсоид, заданный в канонической (прямоугольной) системе координат уравнением

Рассмотрим аффинное преобразование

Это преобразование переводит эллипсоид в сферу, имеющую в той же (прямоугольной) системе координат уравнение

Таким образом, каждый эллипсоид аффинно эквивалентен единичной сфере, концентрической с данным эллипсоидом.

То же аффинное преобразование (1) переводит однополостный гиперболоид

в гиперболоид

двуполостный гиперболоид

в гиперболоид

конус

в конус

мнимый конус

в мнимый конус

Возьмем теперь эллиптический параболоид

и применим к нему аффинное преобразование

Это преобразование переводит данный параболоид в простейший параболоид, имеющий в той же системе координат уравнение

То же преобразование (2) переводит гиперболический параболоид

В параболоид

Эллиптический цилиндр

мнимый эллиптический цилиндр

пара мнимых пересекающихся плоскостей

гиперболический цилиндр

пара действительных пересекающихся плоскостей

аффинным преобразованием

переводятся соответственно в одноименные поверхности, имеющие в той же системе координат уравнения:

Параболический цилиндр

после преобразования

получает уравнение

Поверхности, распадающиеся на пары параллельных плоскостей

аффинно эквивалентны соответственно поверхностям

(верхний знак + соответствует мнимым, нижний знак — действительным плоскостям).

Остается доказать, что две поверхности, принадлежащие к различным классам, не могут быть аффинно эквивалентными. Мы сейчас дадим чисто геометрическое доказательство.

Рассмотрим прежде всего свойство поверхности быть центральной, т. е. иметь единственный центр симметрии. Так как при аффинном преобразовании центр симметрии данной фигуры переходит в центр симметрии преобразованной фигуры, то всякий аффинный образ поверхности второго порядка с единственным центром снова есть поверхность второго порядка с единственным центром.

Итак, при аффинном преобразовании всякая центральная поверхность переходит снова в центральную.

Далее, среди центральных поверхностей невырожденные характеризуются тем, что их центр не лежит на данной поверхности. Поэтому аффинный образ невырожденной (соответственно вырожденной) центральной поверхности есть невырожденная (соответственно вырожденная) центральная поверхность.

Невырожденные центральные поверхности суть эллипсоиды, однополостные и двуполостные гиперболоиды; ни одна из этих поверхностей не может при аффинном преобразовании перейти в поверхность другого наименования.

В самом деле, эллипсоид не может быть аффинно эквивалентен никакой другой поверхности второго порядка, так как среди всех поверхностей второго порядка лишь эллиисоиды обладают свойством лежать внутри некоторого параллелепипеда (все остальные поверхности второго порядка простираются в бесконечность).

Двуполостный и однополостный гиперболоиды аффинно не эквивалентны, так как у двуполостных гиперболоидов нет вещественных прямолинейных образующих, а у однополостных они есть. Очевидно также, что при аффинном преобразовании вещественный эллипсоид не может перейти в мнимый, так же как вещественный конус не может перейти в мнимый.

Итак, любой аффинный образ центральной поверхности данного наименования есть необходимо центральная поверхность того же наименования.

Переходим к нецентральным поверхностям.

Прежде всего, очевидно, что аффинный образ всякой поверхности, распадающейся в пару пересекающихся, соответственно параллельных (и широком или собственном смысле), плоскостей есть снова поверхность того же наименования, причем сохраняется и свойство поверхности быть вещественной или мнимой.

Остаются параболоиды и цилиндры.

Нецентральная поверхность при аффинном преобразовании не может перейти в центральную (иначе обратное преобразование перевело бы центральную поверхность в нецентральную). Поэтому аффинный образ параболоида или цилиндра не может быть центральной поверхностью; не может он быть и парой плоскостей.

Далее, аффинный образ параболоида не может быть ни эллиптическим, ни гиперболическим цилиндром (так как у параболоидов нет ни одного центра, а у названных цилиндров имеется целая прямая центров).

Гиперболический и эллиптический параболоиды аффинно различны, так как у гиперболического параболоида имеются (вещественные) прямолинейные образующие, а у эллиптического параболоида их нет.

По этой же причине эллиптический параболоид аффинно отличен от параболического цилиндра. Аффинная неэквивалентность гиперболического параболоида и параболического цилиндра вытекает из того, что асимптотические векторы гиперболического параболоида заполняют два различных двумерных векторных многообразия (это все векторы, параллельные одной какой-нибудь из двух пересекающихся плоскостей), тогда как асимптотические направления параболического цилиндра образуют одно - единственное двумерное векторное многообразие.

Неэквивалентность (какого бы то ни было) цилиндра (какому бы то ни было) параболоиду вытекает также из того, что у цилиндра все образующие параллельны между собою, тогда как ни один параболоид этому условию не удовлетворяет.

Из сказанного следует, что аффинным образом эллиптического (соответственно гиперболического) параболоида может быть только параболоид того же наименования.

Аффинным образом гиперболического или эллиптического цилиндра не может быть ни параболоид, ни пара плоскостей, ни центральная поверхность; не может им быть и параболический цилиндр, у которого нет ни одного центра, тогда как у эллиптического и гиперболического цилиндров имеется прямая центров.

Остается доказать, что эллиптический и гиперболический цилиндры аффинно различны.

Это вытекает из того, что совокупность вещественных асимптотических векторов гиперболического цилиндра есть объединение двух двумерных векторных многообразий, тогда как многообразие всех вещественных асимптотических векторов эллиптического цилиндра одномерно.

Аффинная неэквивалентность эллиптического и гиперболического цилиндров вытекает также из того, что у эллиптического цилиндра имеются плоские сечения, являющиеся эллипсами, тогда как у гиперболического цилиндра таких сечении нет (читатель должен это доказать).

Из предыдущего анализа вытекает, наконец, что параболический цилиндр аффннпо отличен от поверхностей всех других названных выше типов.

Задача аффинной классификации поверхностей второго порядка решена до конца.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление