Главная > Математика > Лекции по аналитической геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Поверхности второго порядка в проективном пространстве. Теорема единственности

Алгебраической поверхностью в проективном пространстве называется множество точек, задаваемое в какой-либо проективной системе координат уравнением

где — однородный многочлен (форма) от переменных

При переходе к другой системе проективных координат координаты испытывают однородное линейное преобразование с невырождающейся матрицей С, тождественно преобразующее форму в форму той же степени, что и форма степень уравнения (I), задающего данную поверхность, не меняется при переходе к другой системе координат, она называется порядком данной поверхности.

Мы будем рассматривать лишь поверхности второго порядка и в соответствии с этим будем предполагать, что левая часть уравнения (I) есть квадратичная форма, и уравнение поверхности будет иметь вид

Как всегда, билинейную форму, полярную к форме обозначаем через или, сокращенно, через .

Мы будем предполагать, что проективное пространство есть результат пополнения несобственными точками аффинного трехмерного пространства с выбранной в нем аффинной системой координат порождающей раз навсегда заданную систему однородных координат. В соответствии с этим будем писать . Если не оговорено противное, будем предполагать, что уравнения рассматриваемых поверхностей заданы именно в этой однородной системе координат. Это не помешает нам, разумеется, считая эту систему координат исходной, привлекать произвольные другие проективные системы координат.

Дальнейшие рассуждения идут по пути, аналогичному тому, по которому мы шли в § 1 предыдущей главы.

Множество X собственных точек поверхности (1) совпадает с множеством точек аффинного пространства координаты которых в системе удовлетворяют уравнению

Множество X пусто в том и только в том случае, когда а все остальные коэффициенты равны нулю. В этом случае уравнение (1) превращается в уравнение

дважды взятой несобственной плоскости.

Итак:

Теорема Если поверхность (1) состоит из одних несобственных точек, то уравнение (1) необходимо имеет вид (1) и определяемая этим уравнением поверхность есть дважды взятая несобственная плоскость.

Переходим ко второму случаю: пусть все несобственные точки пространства принадлежат поверхности (1), и пусть эта поверхности кроме того, содержит по крайней мере одну собственную точку. Тогда по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

По предположению, всякая несобственная точка удовлетворяет уравнению (1), так что равенство

является при любых числовым тождеством. Поэтому в рассматриваемом случае

и уравнение (1) имеет вид

наша поверхность распадается на пару плоскостей, из которых одна есть несобственная плоскость а другая имеет уравнение

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля и которое поэтому определяет некоторую собственную плоскость.

Итак:

Теорема 32. Если поверхность (1) содержит всю несобственную плоскость, но не совпадает с нею, то она распадается на пару плоскостей, из которых одна есть несобственная, а другая — собственная плоскость. Уравнение (1) в этом случае имеет вид . Наконец, если поверхность (1) не содержит несобственной плоскости, то в ее уравнении по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Тогда уравнение (2) определяет в аффинном пространстве поверхность второго порядка, совпадающую с множеством X всех собственных точек поверхности (1).

Эта последняя получается пополнением поверхности (2) всеми несобственными точками удовлетворяющими уравнению (1), переходящему при в уравнение

Поэтому несобственные точки поверхности (1) суть не что иное, как несобственные точки, удаленные в бесконечность в направлениях, асимптотических для поверхности (2). На плоскости эти точки образуют кривую второго порядка, определяемую уравнением (3) и являющуюся пересечением несобственной плоскости с конусом асимптотических направлений поверхности (1). Мы вернемся к этому в § 8.

Совершенно так же, как в случае кривых, мы выведем из доказанных результатов следующую теорему единственности для поверхностей второго порядка.

Теорема 4 (теорема единственности). Если два уравнения

и

определяют одну и ту же поверхность Г второго порядка в проективном пространстве то коэффициенты в обоих уравнениях (1) и (1) соответственно пропорциональны между собою.

Доказательство, как и доказательство аналогичной теоремы для кривых, данное в § 1 предыдущей главы, состоит в разборе, трех возможных случаев.

1° Все точки поверхности Г несобственные. Тогда уравнения (1) и (1') имеют вид соответственно и утверждение доказано.

2° Поверхность Г содержит несобственную плоскость, но не совпадает с нею.

Тогда уравнения (1) и (1') имеют вид

соответственно

Тогда поверхность Г распадается на пару плоскостей, из которых одна — несобственная плоскость а другая — собственная плоскость, определяемая любым из двух уравнений

Поэтому соответствующие коэффициенты в этих двух уравнениях пропорциональны; так как остальные коэффициенты в уравнениях (1) и (1') равны нулю, то утверждение теоремы единственности доказано и в рассматриваемом случае.

3° Остается последний случай: поверхность Г не содержит несобственной плоскости.

Тогда множество X собственных точек поверхности Г определяется в аффинной координатной системе из уравнений

и

Каждое из этих уравнений определяет в пространстве одну и ту же поверхность второго порядка. Поэтому по теореме 2 главы XX соответственные коэффициенты в уравнениях (2) и (2), а значит, и в уравнениях (1) и (1) пропорциональны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление