Главная > Математика > Лекции по аналитической геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. (n-1)-мерные многообразия (поверхности) второго поряд] в -мерном аффинном и евклидовом пространствах

Пусть в -мерном аффинном пространстве дана аффинная система координат . Всякое алгебраическое уравнение пени , т. е. уравнение

левая часть которого есть многочлен степени от перемени! задает в некоторое алгебраическое многообраз. размерности и порядка мы будем кратко говорить: некотору алгебраическую поверхность порядка m в пространстве с этим определением можно было бы привести высказывания, логичные тем, которые в свое время были приведены в главе XV, § об алгебраических поверхностях в обычном трехмерном пространств В частности, имея уравнение данной поверхности в данной систе; координат, мы совершенно так же, как в случае находим уравнение во всякой другой системе координат, и все эти уравнен: будут одной и той же степени: порядок поверхности не зависит той системы координат, в которой мы поверхность задаем. Следу также сказать, что удовлетворительное построение теории алгебра ческих поверхностей требует перехода к комплексному пространств более того, к комплексному проективному пространству.

Мы, однако, ограничимся лишь самыми краткими замечаниям касающимися поверхностей второго порядка в -мерном аффинш и -мерном евклидовом пространствах.

Общее уравнение второй степени от переменных имеет вид

где есть квадратичная, а — линейная форма от переменных

Вектор пространства удовлетворяющий условию

называется асимптотическим для данной поверхности (1). Поверхность, определяемая однородным уравнением (2), так же как и в случае трехмерного пространства, называется конической поверхностью. В данном случае, когда форма есть квадратичная форма старших членов уравнения (1), коническая поверхность (2) называется конусом асимптотических, направлений поверхности (1). Точки пересечения поверхности (1) с какой-либо прямой

находятся совершенно так же, каки в случае решая уравнения (3) совместно с уравнением (1), получаем квадратное уравнение для

где

причем

откуда выводим, что поверхность (1) пересекается со всякой прямой неаснмптотического направления по паре точек, которые могут быть действительными (различными или совпадающими) или мнимыми сопряженными.

Прямая асимптотического направления или вовсе не пересекается с поверхностью (1), или пересекается с нею в одной действительной точке, или целиком содержится в поверхности (1), являясь в последнем случае прямолинейной образующей этой поверхности.

Как и в случае мы определяем большой ранг поверхности R т. е. ранг матрицы

всех коэффициентов и а многочлена

Поверхность называется вырождающейся, если ее большой ранг .

Малым рангом поверхности (1) называется ранг квадратичной формы старших членов ее уравнения (1).

Точка поверхности (1) называется особой точкой этой поверхности, если

т. е. если все частные производные многочлена равны в этой точке нулю.

Так как имеет место тождество

то из равенств (4) и из следует, что особая точка удовлетворяет системе уравнений

Другими словами, если есть особая точка поверхности (1), то отличный от нуля вектор арифметического векторного пространства является решением однородной системы из уравнений

Отсюда вытекает, что особые точки могут существовать лишь у вырождающихся поверхностей: при поверхность имеет не более одной особой точки; если же то особых точек или вовсе нет (если уравнения (5) несовместны), или же они образуют -мерную плоскость. Все касательные прямые в неособой точке поверхности (1) заполняют -мерную плоскость, уравнение которой есть

эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности и) в ее точке Интересным упражнением для читателя было бы установление того факта, что касательная плоскость в неособой точке к невырождающейся поверхности второго порядка пересекает ее по -мерной конической поверхности, слагающейся из прямолинейных образующих поверхности (1), проходящих через данную ее точку

Понятие центра симметрии поверхности определяется в -мерном пространстве так же, как и трехмерном, и уравнения центра имеют такой же точно вид. В зависимости от того, каков малый ранг поверхности, она имеет или единственный центр симметрии (при поверхность (1) называется в этом случае центральной), или не имеет ни одного центра, или же она имеет целую -мерную плоскость центров.

Наконец, вводится и понятие направлений, взаимно сопряженных относительно данной поверхности (1), вернее, относительно квадратичной формы старших членов ее уравнения: два направления, заданные векторами , называются сопряженными, если где — билинейная форма, полярная к форме

Так же, как в случае доказывается, что середины всех хорд данного направления и лежат в одной (-мерной плоскости; эта плоскость несет на себе все направления, сопряженные направлению , и называется плоскостью, сопряженной направлению и относительно данной поверхности. Всякая -мерная плоскость, сопряженная какому-нибудь направлению относительно данной поверхности второго порядка, называется диаметральной гиперплоскостью этой поверхности.

Диаметральные плоскости размерностей определяются как плоскости, являющиеся пересечением нескольких диаметральных плоскостей размерности . В случае центральных поверхностей диаметральные плоскости — это просто плоскости, проходящие через центр поверхности.

Понятие особого направления вводится и исследуется так же, как и в случае исследование этого и других вопросов общей аффинной теории поверхностей второго порядка предоставляется читателю. Решившись на такое исследование, любознательный читатель едва ли пожалеет о затраченных на него времени и усилиях. В частности, он, вероятно, сумеет дать (по индукции) доказательство теоремы единственности (см. § 5 главы XX) для поверхностей второго порядка в -мерном пространстве.

Несомненно, читатель докажет (по крайней мере для центральных поверхностей) следующую теорему: если направления единичных векторов данной аффинной координатной системы в пространстве являются попарно сопряженными между собою относительно поверхности (1), то в этой координатной системе квадратичная форма старших членов уравнения (1) имеет канонический вид.

Теперь до конца этого параграфа мы предполагаем, что в пространстве выбрана такая аффинная координатная система в которой форма имеет вид

где , как всегда, есть ранг формы и все коэффициенты Равны ±1. В этой системе координат уравнение данной поверхности имеет вид

Покажем теперь, что посредством сдвига начала координат в некоторую точку координаты которой вдобавок однозначно определены, можно достигнуть того, чтобы коэффициенты при в линейной форме обратились в нуль. В самом деле, сделаем преобразование координат

при пока еще не определенных постоянных .

При преобразовании (6) многочлен тождественно перейдет в

где

Так как все отличны от нуля, то из уравнений

значения определяются однозначно, и тогда коэффициенты при первых степенях обратятся в нуль, а само уравнение (1) примет вид

(7)

Если все равны нулю, то с системой координат имеющей репер больше ничего не делаем. Если же среди имеются отличные от пуля, то без ограничения общности можем предположить, что тогда переходим к новому аффинному реперу посредством преобразования координат

это преобразование (8) переводит уравнение (7) в уравнение

Мы доказали следующее основное предложение.

Теорема 16, В надлежаще выбранной аффинной системе координат пространства всякая поверхность второго порядка (малого) ранга имеет при уравнение

при либо уравнение

либо уравнение

Геометрический смысл этой теоремы выясняется по аналогии с трехмерным случаем.

Уравнение (10) есть простейшее уравнение центральной поверхности в аффинных координатах. При мы имеем невырождающуюся центральную поверхность, при — конус второго порядка.

Если в данной аффинной координатной системе уравнение центральной поверхности имеет вид (10), то начало координат этой системы является единственным центром поверхности (10).

Нормируя уравнение (10) требованием, чтобы его свободный член был отрицательным, основываем аффинную классификацию невырождающихся центральных поверхностей на индексе квадратичной формы т. е. на числе положительных среди коэффициентов Мы получаем, прежде всего, два крайних случая действительного и мнимого эллипсоидов: действительный эллипсоид получается, когда все положительны, мнимый — когда они все отрицательны. Между этими крайними случаями лежат гиперболоидов различных сортов.

Если в уравнении (10) мы имеем , то это уравнение определяет конус второго порядка; в этом случае, умножая, если надо, обе части уравнения (10) на —1, мы всегда можем предположить, что число положительных среди коэффициентов не меньше, чем ; ограниченные этим требованием значения индекса квадратичной формы и дают нам различные аффинные классы конусов второго порядка в число этих классов равно ; они взаимно однозначно соответствуют аффинным классам невырожденных поверхностей второго порядка в .

Пусть теперь . Тогда наша поверхность задается либо уравнением

(13)

либо уравнением

В первом случае имеем параболоид. Умножая, если нужно, обе части уравнения (13) на —1, меняя направление последней координатной оси, а также порядок других осей, можно всегда достигнуть того, чтобы число положительных среди коэффициентов было и чтобы они стояли на первых местах.

Это и даст нам нормальный вид уравнения параболоида. Число аффинно различных классов параболоидов равно — .

В случае имеем цилиндр над -мерной центральной поверхностью, в частности, при — над конусом второго порядка.

Переходим теперь к случаю любого Введем прежде всего следующее определение. Поверхность, заданную в -мерном пространстве уравнением вида

где и, следовательно, назовем -кратным цилиндром над -мерной поверхностью (14), лежащей в -мерной плоскости

пространства (т. е. в плоскости, проходящей через точку и натянутой на векторы . Теперь можно сказать, что при любом уравнение (12) определяет -кратный цилиндр над -мерным параболоидом, лежащим в -мерной плоскости

и заданным в ней уравнением (12).

Уравнение (11) определяет -кратный цилиндр над центральной поверхностью плоскости

вырождающейся при в конус.

Предполагаем теперь, что аффинное пространство снабжено евклидовой метрикой, т. е. является евклидовым пространством Имеет место следующая основная

Теорема 17. В надлежаще выбранной прямоугольной координатной системе евклидова -мерного пространства всякая лежащая в этом пространстве поверхность второго порядка малого ранга имеет уравнение одного из следующих видов.

А. Если ранг (центральный случай), то

причем при получаем невырождающуюся центральную поверхность, при — вырождающуюся (конус).

Б. Если то или

или

— цилиндр над -мерной центральной поверхностью в плоскости

- кратный цилиндр над центральной -мерной поверхностью в -мерной плоскости (вырождающейся при в конус), либо

- кратный цилиндр над -мерным параболоидом. Доказательство. Пусть

— уравнение поверхности второго порядка в прямоугольной системе координат

— квадратичная форма ранга

— линейная форма.

Предположим сначала, что ; тогда существует ортонормальный базис, составленный из собственных векторов квадратичной формы в котором эта форма принимает вид

причем все числа отличны от нуля. В системе координат уравнение (1) принимает вид

(18)

Так как все числа отличны от нуля, то посредством переноса начала О системы координат в точку О можно достигнуть того, что все коэффициенты линейной формы уравнения поверхности обратятся в нуль и в системе уравнение поверхности будет иметь вид

При получаем невырождающуюся центральную поверхность, при — вырождающуюся (конус).

Пусть теперь . Найдем такой ортонормальный базис

в котором квадратичная форма имеет канонический вид

а линейная форма I принимает вид

В качестве первых векторов искомого базиса возьмем ортонормальную систему из собственных векторов квадратичной формы , соответствующих ее отличным от нуля собственным значениям

Чтобы найти вектор нужного нам базиса, представим вектор

(координатами которого являются коэффициенты линейной формы ) в виде

(19)

где — вектор, ортогональный к каждому из векторов .

Для получения такого представления вектора а умножим равенство (19) на каждый из векторов . Тогда будем иметь

откуда

Из равенства (19) видно, что вектор ортогонален к каждому из векторов

Теперь возможны два случая:

В первом случае равенство (19) принимает вид .

Дополним ортопормальпую систему векторов до (какого-нибудь) ортопормальпого базиса всего пространства и будем рассматривать линейную как скалярное произведение векторов

В базисе

Пусть в этом базисе

тогда

Таким образом, в системе координат уравнение поверхности (1) принимает вид

Так как все числа отличны от нуля, то сдвигом начала координат О в новую точку О снова можно достигнуть того, чтобы уравнение не содержало членов с первыми степенями координат. В системе уравнение (1) принимает вид

и, в частности, при

Пусть теперь Положим и представим вектор b в виде

Формула (19) в этом случае принимает вид

Дополним снова ортонормальную систему векторов до ортомормального базиса всего пространства и будем рассматривать снова форму как скалярное произведение векторов . В базисе линейная форма примет вид

Поэтому уравнение (1) в системе принимает вид

Ввиду того, что все числа отличны от нуля, переносом начала координат О в точку

где

и изменением направления оси на противоположное можно добиться того, что уравнение (1) примет вид

и, в частности,

В заключение несколько слов о поверхностях второго порядка в (комплексном) -мерном проективном пространстве . Они определяются уралнением (в однородных координатах)

левая часть которого есть квадратичная форма от этих координат.

Пусть — какая-нибудь прямая, не содержащаяся целиком в поверхности (1) и, следовательно, пересекающаяся с нею по паре точек: действительных (быть может, совпадающих) или мнимых (сопряженных). Если прямая пересекается с поверхностью (21) по паре совпадающих точек, то она называется касательной, и все касательные прямые к поверхности (21) в данной ее точке образуют касательную плоскость, уравнение которой есть

(22)

где , как всегда, билинейная форма, полярная к квадратичной форме Ф. Если — какая-нибудь точка, быть может, и не принадлежащая поверхности (21), то плоскость , определяемая уравнением (22), называется полярной плоскостью точки P (относительно поверхности (21)), а точка P называется полюсоц плоскости . О полярных плоскостях и полюсах можно повторить все, что о них было сказано в главе ХХIII (для случая и еще ранее в главе XXII (для ).

Со всякой гиперплоскостью пространства поверхность (21) пересекается по -мерной поверхности второго порядка. Если поверхность (21) невырождающаяся, то -мерная поверхность, по которой она пересекается с гиперплоскостью , вырождается тогда и только тогда, когда плоскость является касательной плоскостью к поверхности (21); тогда в пересечении получаем -мерный конус прямолинейных образующих поверхности (21), проходящих через данную точку. В частности, если поверхность (21) не содержит несобственной гиперплоскости то ее пересечение с этой последней совпадает с -мерной поверхностью, являющейся пересечением с несобственной плоскостью конуса асимптотических направлений данной поверхности.

Так как всякая плоскость любого числа измерений есть пересечение нескольких гиперплоскостей (т. е. (-мерных плоскостей), то пересечение поверхности (21) со всякой плоскостью (любой размерности) есть поверхность второго порядка соответствующего числа измерений.

Проективная классификация поверхностей второго порядка в пространстве сводится к классификации квадратичных форм от переменных по их рангу и индексу.

Умножая, если нужно, обе части уравнения (21) на —1, всегда можно достигнуть того, чтобы индекс квадратичной формы был не меньше, чем , где — ранг формы Ф.

Предполагая, что все рассматриваемые уравнения нормированы этим требованием, видим, что для каждого значения каждый проективный класс поверхностей данного ранга определяется значением индекса k нормированной формы Ф и состоит из поверхностей, проективно эквивалентных поверхности, уравнение которой (в «канонической» системе координат) имеет вид

где k принимает все значения, удовлетворяющие неравенству

так же как в случае

Доказательство теоремы единственности для поверхностей второго порядка в -мерном проективном пространстве сводится к доказательству аналогичной теоремы для поверхностей в аффинном пространстве

Наконец, так же как в трехмерном пространстве проективно-аффинный класс поверхности второго порядка в определяется проективным классом самой поверхности и проективным классом ее пересечения с несобственной гиперплоскостью.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление