Главная > Математика > Лекции по аналитической геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи к главе XIV

Задача 57. Даны три плоскости:

В зависимости от рангов и R матриц

и

выяснить взаимное расположение плоскостей, заданных уравнениями (1).

Решение. 1°. Пусть т. е.

В этом случае и . Система (1) имеет единственное решение; это значит, что три плоскости, задаваемые уравнениями (1), имеют единственную общую точку.

Векторное многообразие, определяемое системой

состоит из нулевого вектора.

2°. . В этом случае система (1) совместна, а система (2) определяет одномерное векторное многообразие. Данные три плоскости имеют единственную общую прямую — принадлежат одному собственному пучку. Эта прямая проходит через какую-нибудь точку, определяемую системой (1), и параллельна вектору, определяемому системой (2),

Если никакие две строки матрицы В не пропорциональны, то плоскости (1) попарно различны. В противном случае какие-нибудь две плоскости совпадают, а третья плоскость их пересекает.

3°. . Система (1) несовместна, система (2) определяет одномерное векторное многообразие. Этот случай содержит в себе два подслучая.

3°а. . Никакие две строки матрицы А не пропорциональны. В этом случае каждые две плоскости пересекаются, причем линия их пересечения параллельна третьей плоскости, а все три плоскости общей точки не имеют. Плоскости образуют призму.

3°б. . Какие-нибудь две строки матрицы А пропорциональны. Соответствующие строки матрицы В не могут быть пропорциональны, так как в противном случае мы находились бы в условиях случая 2°. В этом случае две плоскости, задаваемые уравнениями (I), параллельны, а третья их пересекает.

4°. . Уравнения (1) определяют одну и ту же плоскость) уравнения (2) — одно и то же двумерное векторное многообразие.

5°. . Система (1) несовместна; система (2) определяет двумерное векторное многообразие.

В матрице А каждые две строки пропорциональны. Поэтому три плоскости, определяемые уравнением (I), параллельны в широком смысле слова. При этом возможны два подслучая.

5°а. Никакие две строки в матрице В не пропорциональны: каждые две плоскости (1) параллельны в узком смысле слова.

5°б. Какие-нибудь две строки матрицы В пропорциональны; тогда третья строка не может быть им пропорциональна, так как . В этом случае две плоскости совпадают, а третья им параллельна в узком смысле слова.

Задача 58. Написать параметрические уравнения плоскости, заданной системой уравнений

Решение. Выясним прежде всего, является ли система совместной; для этого вычислим ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных и ранг расширенной матрицы. Ранги обеих матриц оказываются одинаковыми: оба они равны 2. (Третье уравнение получается вычитанием из первого уравнения второго.) Поэтому рассмотрим систему, состоящую из первых двух уравнений:

Определитель составленный из коэффициентов при неизвестных

отличен от нуля: он решен 3. Поэтому систему можно разрешить относительно неизвестных принимая за свободные неизвестные . Имеем

Найдем частное решение этой системы, полагая

тогда

Следовательно, плоскость проходит через точку .

Найдем теперь фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

соответствующей данной неоднородной системе. Полагая последовательно

получим следующую фундаментальную систему решений!

Таким образом, данная плоскость содержит векторы (1). Параметрические уравнения плоскости можно записать в виде

Задача 59. Даны параметрические уравнения плоскости

Написать систему линейно независимых уравнений, определяющих эту плоскость.

Решение. Составим матрицу из координат векторов, компланарных данной плоскости:

Ранг этой матрицы равен 2, следовательно, векторы

линейно независимы, и данная плоскость является двумерной.

Так как она находится в пятимерном пространстве, то для ее задания необходимы три уравнения с неизвестным» Плоскость проходит через точку . Для того чтобы произвольная точка лежала на данной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы три вектора

были линейно зависимы. Следовательно, ранг матрицы, составленной из координат этих векторов:

равен 2. Значит, определители всех миноров третьего порядка этой матрицы равны нулю. Но детерминант, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы, отличен от нуля: Беря детерминанты окаймляющих его миноров и приравнивая их нулю, получаем три линейно независимых уравнения данной плоскости:

или

Задача 60. Доказать, что если плоскость имеет размерность , а плоскость — размерность s, то существует плоскость L, содержащая как так и размерность которой . В частности, две прямые всегда содержатся в плоскости, размерность которой прямая и двумерная плоскость — в плоскости, размерность которой ; две двумерные плоскости — в плоскости, размерность которой , и т. д.

Доказательство. Рассмотрим сначала случаи, когда плоскости «скрещиваются», т. е. сами они не имеют общих точек, а соответствующие им векторные многообразия не имеют общих ненулевых векторов.

Пусть плоскость проходит через точку А и ей компланарны линейно независимые векторы

плоскость проходит через точку В и компланарна линейно независимым векторам

Введем еще вектор и рассмотрим плоскость L, проходящую через точку А и компланарную векторам

Плоскости содержатся в плоскости L. Докажем, что плоскость L имеет размерность . Для этого надо показать, что компланарные ей векторы

линейно независимы. Векторы

линейно независимы. В самом деле, из соотношения

следует, что

Вектор

принадлежит векторному многообразию, соответствующему а вектор

— многообразию, соответствующему . Но у этих многообразий общим является только нуль-вектор; поэтому

а так как векторы линейно независимы, так же как и векторы то

и, следовательно, векторы

линейно независимы.

Если бы все векторы

были линейно зависимы, то вектор с можно было бы представить в виде

Отложим от точки В вектор

Точка М принадлежит плоскости . Рассмотрим вектор

Мы видим, что конец вектора AM принадлежит плоскости Ц. Итак, вопреки предположению оказывается, что плоскости имеют общую точку М. Следовательно, вектор с не может быть представлен как линейная комбинация векторов

Значит, векторы

линейно независимы и размерность плоскости L равна .

При сделанных предположениях плоскости не могут содержаться в плоскости меньшей размерности, так как иначе векторов

оказались бы линейно зависимыми. Если же одно из условий будет нарушено, то размерность плоскости L, содержащей будет меньше, чем

Задача 61. Доказать, что если плоскость а не имеет общих точек с гиперплоскостью , то плоскость а параллельна гиперплоскости .

(Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек и векторное многообразие, соответствующее одной из этих плоскостей, содержится в векторном многообразии, соответствующем другой плоскости, или совпадает с ним.)

Доказательство. Пусть

— уравнение гиперплоскости Мы должны показать, что всякий вектор, принадлежащий векторному многообразию, соответствующему плоскости , принадлежит и векторному многообразию, соответствующему гиперплоскости . Предположим, что это не так; тогда в многообразии, соответствующем плоскости , найдется вектор не принадлежащий многообразию, соответствующему , т. е. вектор, удовлетворяющий неравенству

Возьмем в плоскости а точку и рассмотрим прямую, проходящую через точку В и имеющую своим направляющим вектором вектор с. Она определяется системой параметрических уравнений

Эта прямая принадлежит плоскости а и пересекает плоскость так как в силу неравенства

система уравнений

совместна. Значит, плоскости имеют общую точку, что противоречит предположению. Отсюда следует, что не существует вектора, компланарного плоскости и не компланарного плоскости . Следовательно, векторное многообразие, соответствующее плоскости , содержится в векторном многообразии, соответствующем гиперплоскости или совпадает с этим последним, т. е. плоскость а параллельна плоскости .

Задача 62. Доказать: для того чтобы две плоскости не имеющие общих точек, были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы обе они содержались в плоскости, размерность которой равна где — наибольшая из размерностей плоскостей если размерности различны, и является их общим значением, если размерности плоскостей одинаковы.

Доказательство необходимости. Пусть размерность плоскости больше или равна размерности плоскости Это значит, что существует линейно независимых векторов

компланарных плоскости и порождающих соответствующее этой плоскости векторное многообразие.

Возьмем точку А в плоскости и точку В в плоскости Вектор не принадлежит векторному многообразию, порожденному векторами так как в противном случае его конец В принадлежал бы плоскости а плоскости и L, общих точек не имеют. Следовательно, вектор

линейно независимы и вместе с точкой А определяют плоскость L, содержащую как плоскость так и плоскость так как в силу параллельности плоскостей и 1.2 векторы, компланарные содержатся в векторном многообразии, порожденном векторами

Доказательство достаточности. Предположим, что плоскости не имеют общих точек и обе содержатся в плоскости L размерности где — наибольшая из размерностей плоскостей и 12, если их размерности различны, и является их общим значением, если размерности плоскостей одинаковы. Пусть плоскость имеет размерность . Мы можем рассматривать плоскость L как аффннное пространство; тогда -мерная плоскость будет его гиперплоскостью, а плоскость 1-2, не имеющая с общих точек, в силу предыдущей задачи будет параллельна

Задача 63. Доказать, что если через концы ребер -мерного параллелепипеда, исходящих из одной вершины О, провести плоскость , а затем через все вершины параллелепипеда провести плоскости, ей параллельные, то они разобьют диагональ ОА параллелепипеда, выходящую из вершины О, на равных частей.

Доказательство. Примем вершину О за начало, а выходящие из нее ребра за единичные векторы осей аффинной системы координат. В этой системе уравнение плоскости будет

а уравнение диагонали ОА —

Уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллелепипеда и параллельных плоскости , будут

, где k — число координат вершины параллелепипеда, равных 1. При получаем плоскость, проходящую через вершину О; при - плоскость, проходящую через вершину А.

Остальные плоскостей пересекут диагональ в точках

разбивающих диагональ ОА на равных частей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление