Главная > Математика > Лекции по аналитической геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи к главе XXI

Задача 89. Написать уравнения несобственной прямой относительно проективной системы координат, базисными точками которой ялляются вершины треугольника ABC, а единичной точкой — точка М пересечения его медиан.

Решение. Пусть

Обозначим через D, Е, F середины сторон ВС, СА, АВ треугольника ABC и найдем координаты этих точек в проективной системе координат АВСМ.

Координаты точки D найдем, рассматривая ее как точку пересечения прямых ВС и AM. Уравнение прямой ВС

или

уравнение прямой

или

Точка пересечения прямых ВС и АМ

Точно так же найдем, что

Так как D — середина отрезка ВС, то четвертой гармонической к точкам В, С, D будет несобственная точка D прямой ВС. С другой стороны так как то

Подобным же образом найдем, что несобственной точкой прямой АС является точка

Напишем теперь уравнение несобственной прямой по двум ее точкам D и :

или

Задача 90. Найти проективное преобразование, которое точки

переводит соответственно в точки

Решение. Пусть

— искомое преобразование. Так как переходит в то

Из того, что переходит в следует, что

Наконец, так как переходит в то

Таким образом, формулы проективного преобразования принимают вид

Наконец, принимая во внимание, что точка остается на месте, находим, что

и формулы преобразования окончательно принимают вид

Задача 91. Относительно системы однородных координат проективное преобразование задано соотношениями:

Найти несобственную точку плоскости, прообразом которой является также несобственная точка.

Решение. Пусть — искомая несобственная точка, — ее прообраз при данном проективном преобразовании. Так как при должно быть то из последнего из равенств, определяющих данное проективное преобразование, находим

откуда

Следовательно, прообразом искомой точки будет точка

и, значит, искомая точка будет

Задача 92. Найги общий вид проективных преобразований, оставляющих на месте каждую точку несобственной прямой. Какие аффинные преобразования соответствуют проективным преобразованиям этого рода?

Решение. Введем на плоскости систему однородных координат, и пусть в этой системе уравнением несобственной прямой будет

Запишем искомое преобразование в виде

Так как образом каждой несобственной точки снова является несобственная точка, то при также и при любых 1 и Поэтому, подставляя в третье из равенств (1)

и

получим равенство

выполняющееся при всех значениях .

Но это возможно лишь тогда, когда

При этом

так как иначе линейное преобразование (1) было бы вырожденным.

Так как при рассматриваемом проективном преобразовании каждая несобственная точка остается на месте, то отсюда следует, что при

т. е.

при любых . Но это возможно, лишь если

Таким образом, формулы искомого преобразования имеют вид

Деля первое и второе из этих равенств (2) на третье и полагая

получим следующие формулы для аффинного преобразования собственной плоскости, соответствующего данному проективному преобразованию:

При это перенос; при - это гомотетия с центром в точке и с коэффициентом гомотетии к, быть может, отрицательным.

Задача 93. Найти неподвижные точки проективного преобразования

проективной плоскости.

Решение. Если — неподвижная точка проективного преобразования, то координаты ее образа будут и потому имеем:

или

Так как числа не равны нулю одновременно, то

или

откуда для X получаем единственное действительное значение

а для определения координат неподвижной точки получаем систему уравнений

и, следовательно, неподвижная точка будет .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление