Главная > Математика > Лекции по аналитической геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых до двух фиксированных точек (рис. 86) есть положигельная постоянная. Эту постоянную обозначим через . Число а будем называть первой полуосью гиперболы. Точки называются фокусами гиперболы. Расстояние между ними обозначается через и называется фокусным расстоянием. Как и в случае эллипса, середина отреэка называется центром гиперболы.

Прямая, на которой лежат фокусы гиперболы, называется фокальной или первой (или действительной) осью гиперболы. Прямая, проходящая через центр перпендикулярно к первой оси гиперболы, называется ее второй (или мнимой) осью.

Рис. 86.

Из рис. 86 ясно, что

Если , то мы получаем точки М, для которых или

или

Эти точки М заполняют две полупрямые, дополняющие отрезок до всей прямой. Поэтому случай рассматривать не будем. Предполагаем, что . Как и в случае эллипса, число называем эксцентриситетом гиперболы и обозначаем через . Имеем

Пусть нам дана гипербола, т. е. даны ее фокусы , а также числа а и с. Как и в случае эллипса, построим на плоскости прямоугольную систему координат, которую будем называть канонической (для данной гиперболы). Начало этой системы координат лежит в центре О гиперболы, ось абсцисс совпадает с фокальной осью гиперболы. За положительное направление оси абсцисс примем направление вектора Тогда .

Пусть — произвольная точка гиперболы. Обозначим через расстояния точки соответственно до фокусов и . Числа называются фокальными радиусами точки М.

Имеем

Точка есть точка гиперболы тогда и только тогда, когда

или

Если принять во внимание равенства (1), то имеем (предполагая квадратные корни положительными)

Это уравнение и есть уравнение нашей гиперболы в выбранной системе координат.

Преобразуем уравнение (3) к виду, который называется каноническим. Для этого уединим первый радикал. Возведя затем обе части уравнения в квадрат, получаем

или (после простых преобразований)

Обе части последнего равенства снова возведем в квадрат. Получим

или

Так как , то число положительно; обозначим его через , считая . Равенство (4) можно переписать в виде

или

Осталось показать, что уравнение (5) действительно есть уравнение нашей гиперболы: пока мы доказали лишь, что каждая точка , удовлетворяющая уравнению (2), удовлетворяет и уравнению (5); как и в случае эллипса, еще надо доказать, что каждая точка , удовлетворяющая уравнению (5), удовлетворяет и Уравнению (2).

Пусть — произвольная точка, удовлетворяющая уравнению (5). Найдем фокальные радиусы точки М. Имеем

Из (5) находим (помня, что )

Подставляя это выражение для и учитывая, что — , имеем

т. е.

Совершенно аналогично имеем

Так как — положительные числа, то надо знак перед скобками выбрать так, чтобы и правые части равенств и (62) были положительными. Для этого исследуем различные возможные случаи, представляемые равенствами (6 и (62). Из уравнения (5) находим прежде всего, что . Поэтому имеем два основных случая: в зависимости от того, лежит ли точка в правой полуплоскости или в левой . Так как то в обоих случаях имеем

При внутри скобки в стоит положительное число, поэтому скобку надо взять со знаком , и мы получаем

Из (7) следует, что при внутри скобки (62) стоит отрицательное число, скобку надо взять со знаком , так что

Из следует, что при имеем

и точка , удовлетворяющая уравнению (5), лежит на гиперболе.

Пусть из (7) следует, что теперь внутри скобки стоит отрицательное число, значит, перед скобкой надо взять знак , так что

Зато внутри скобки в (62) стоит теперь число положительное, значит,

Имеем

Итак, во всех случаях всякая точка, удовлетворяющая уравнению (5), лежит на гиперболе — мы доказали, что уравнение (5) действительно является уравнением нашей гиперболы. Оно называется каноническим уравнением гиперболы.

Формулы (I), (II) линейно выражают фокальные радиусы любой точки гиперболы через ее абсциссу.

Заметив, что , получаем

Из уравнения (5) вытекает (как и в случае эллипса), что обе оси гиперболы являются ее осями симметрии, а центр гиперболы есть ее центр симметрии.

Переписывая уравнение гиперболы (5) в виде

и замечая, что его левая часть всегда , видим, что для точек гиперболы должно быть , т. е. .

Другими словами, в полосе - , ограниченной прямыми (на рис. 87 эта полоса заштриховала), в частности на второй оси , не содержится точек гиперболы: все они лежат или вправо от прямой , или влево от прямой , кроме двух точек лежащих на самих этих прямых и являющихся точками пересечения гиперболы с ее фокальной осью. Эти две точки называются вершинами гиперболы.

Рис. 87.

Итак, гипербола распадается на две ветви: «правую», для точек которой абсцисса , и «левую», для точек которой .

Чтобы ближе познакомиться с общим видом гиперболы, надо определить прямые, называемые ее асимптотами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление