Главная > Математика > Лекции по аналитической геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. О двух полупространствах, определяемых данной плоскостью

Этот вопрос совершенно аналогичен вопросу о двух полуплоскостях, определяемых данной прямой на плоскости (гл. V, § 6).

Пусть плоскость задана уравнением

Плоскость разбивает пространство на два полупространства, одно из которых состоит из всех точек , для которых другое — из всех точек , для которых . Первое полупространство называется положительным, второе — отрицательным по отношению к данному уравнению (1) плоскости . При переходе к какому-нибудь другому уравнению той же плоскости оба полупространства могут или остаться неизменными, или поменяться местами: положительное полупространство для одного Уравнения сделается отрицательным для другого.

Первый или второй случай наступает в зависимости от знака того множителя, на который надо почленно помножить одно уравнение, чтобы получить другое.

Рис. 124.

Совершенно так же, как в § 6 главы V, доказывается Теорема 7. Если точки лежат в разных полупространствах, определяемых плоскостью (1), то отрезок пересекает плоскость; если же точки лежат в одном и том же полупространстве, то в этом же полупространстве лежит и весь отрезок (рис. 124).

Рис. 125.

Наглядный смысл этой теоремы таков же, как в случае аналогичной теоремы о двух полуплоскостях, определяемых на плоскости данной прямой. Плоскость (1) не может быть параллельна сразу всем трем координатным осям. Пусть, например, она не параллельна оси . Тогда каждая точка , не лежащая на плоскости (1), лежит «выше» или «ниже» этой плоскости — в следующем смысле. Через точку проходит единственная прямая, параллельная оси она пересекает плоскость (1) в некоторой точке (рис. 125).

Если говорим, что точка лежит выше плоскости (1); если же то говорим, что точка лежит ниже плоскости (1). Совершенно так же, как в § 6 главы V, доказывается

Теорема 8. Все точки пространства, лежащие выше плоскости (1), образуют одно из двух полупространств, на которые эта плоскость разбивает пространство; все точки, лежащие ниже плоскости (1), образуют второе полупространство.

Наконец, имеет место и теорема, аналогичная теореме 4 главы V и доказываемая совершенно так же, как эта последняя.

Теорема 9. Если плоскость . задана уравнением (1), то вектор , приложенный к какой-либо точке этой плоскости (рис. 126), направлен в положительное полупространство относительно уравнения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление