Главная > Математика > Лекции по аналитической геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Билинейные функции и билинейные формы

Рассмотрим теперь функцию от двух переменных векторов пространства , т. е. предположим, что дано правило, ставящее в соответствие каждой паре u, v векторов пространства некоторое число предположим, кроме того, что эта функция является линейной по каждому из своих аргументов, т. е. что выполнены следующие условия:

(каковы бы ни были векторы и числа ). огда говорим, что есть билинейная функция (подразумевается, двух переменных — векторов данного векторного пространства ).

Спрашивается: если векторы заданы своими координатами относительно данного базиса пространства , так что , то как выразится значение билинейной функции F через координаты векторов . Ответ очень прост. Ведь

Положим теперь . Тогда из (1) вытекает, что

что и дает ответ на поставленный вопрос.

Многочлены вида

линейные по каждому из двух рядов переменных

называются билинейными формами от переменных (точнее, от двух рядов переменных ). Матрица

называется матрицей билинейной формы или матрицей билинейной функции (2) относительно базиса . Билинейная форма называется симметричной, если симметрична ее матрица А (т. е. если ).

В частности, билинейная форма от двух пар переменных имеет вид

Вообще,

Вернемся к общему понятию билинейной функции . Эта функция называется симметричной, если ее значение не меняется при перестановке аргументов, т. е. если для любых двух векторов и и v имеем . Тогда, в частности, — матрица А оказывается симметричной. Обратно, если в каком-нибудь базисе данная билинейная функция записывается в виде билинейной формы с симметричной матрицей, то значение функции , равное значению многочлена не меняется при замене в этом многочлене одного из двух рядов переменных другим, что означает равенство т. е. симметричность функции . Итак, симметричная билинейная функция записывается в любом базисе в виде симметричной билинейной формы. Обратно, если билинейная функция в каком-нибудь базисе записывается в виде симметричной билинейной формы, то она симметрична , следовательно, ее записью во всяком базисе будет симметричная билинейная форма).

Каждая функция от двух переменных определяет функцию g от одного неременного, если положить

Функция Ф, полученная но этому правилу из симметричной билинейной функции :

называется квадратичной функцией, порожденной данной билинейной Функцией .

Теорема 1. Для каждой квадратичной функции Ф существует лишь одна порождающая ее симметричная билинейная функция 4, называемая полярной билинейной функцией от данной квадратичной.

Доказательство. Пусть — какая-нибудь симметричная билинейная функция, порождающая данную квадратичную функцию:

Для доказательства единственности функции достаточно доказать формулу

позволяющую вычислить значение функции для любой пары векторов u, v, зная значения функции Ф для каждого из векторов .

Подлежащую доказательству формулу (3) можно переписать в виде

или (по определению функции Ф) в виде

Но в таком виде она непосредственно вытекает из билинейности и симметрии функции :

что и требовалось доказать.

Если в данном базисе симметричная билинейная функция записывается в виде

то очевидно

Многочлен вида все члены которого суть одночлены второй степени, есть не что иное, как. однородный многочлен второй степени, или квадратичная форма (от переменных ). Мы при этом предполагаем, что , что не представляет ограничения общности (при мы бы заменили каждый из этих коэффициентов их полусуммой), так что фактически коэффициент при в при есть .

В частности, квадратичная форма от двух переменных х, у имеет вид , а от трех переменных х, у, z имеет вид

Симметричная матрица

называется матрицей квадратичной формы , ее детерминант называется дискриминантом квадратичной формы.

Мы получили следующий результат: квадратичная функция порожденная данной билинейной функцией во всяком базисе записывается в виде квадратичной формы, имеющей ту же матрицу, что и билинейная форма, являющаяся записью функции .

Другими словами: квадратичная фуикция Ф и ее полярная функция во всяком базисе записываются в виде форм (квадратичной, соответственно билинейной), имеющих одну и ту же (симметричную) матрицу. Поэтому билинейная форма, имеющая ту же матрицу, что и данная квадратичная, называется полярной формой от данной квадратичной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление