Главная > Схемотехника > Теоретические основы электротехники
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8.3. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений.

Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения плюс общее решение однородного уравнения. Частное решение уравнения (8.1) равно — постоянная ЭДС).

Однородное уравнение получаем из исходного, если в нем возьмем правую часть равной нулю. В нашем случае

Решением однородного уравнения является показательная функция вида .

Для всех переходных процессов условимся, что момент соответствует моменту коммутации.

Постоянные А и не зависят от времени. Без вывода дадим их значения для рассматриваемого примера: Следовательно, решение уравнения (8.1) запишется так:

где — частное решение неоднородного уравнения (8.1); — общее решение однородного уравнения (8.2). Подстановка (8.3) в (8.1) дает тождество

Следовательно, (8.3) действительно является решением уравнения (8.1).

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем называть принужденной составляющей тока (напряжения), а полное решение однородного уравнения — свободной составляющей. Применительно к рассмотренному примеру принужденная составляющая тока а свободная составляющая Полный ток .

Кроме индексов «пр» (принужденный) и «св» (свободный) токи и напряжения могут иметь и дополнительные индексы, соответствующие номерам ветвей на схеме.

Принужденная составляющая тока (напряжения) физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС. Если в схеме действует принуждающая синусоидальная ЭДС частоты , то принужденная составляющая любого тока и любого напряжения в схеме является соответственно синусоидальным током (синусоидальным напряжением) частоты .

Определяются принужденные составляющие в цепи синусоидального тока с помощью символического метода (см. гл. 3). Если в схеме действует источник постоянной ЭДС (как, например, в схеме рис. 8.2), то принужденный ток есть постоянный ток и находят его с помощью методов, рассмотренных в гл. 2.

Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая тока через него в цепях с источниками постоянной ЭДС равна нулю. Кроме того, напомним, что падение напряжения на индуктивной катушке от неизменного во времени тока равно нулю.

В линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону Так, в рассмотренном примере . С увеличением времени t множитель быстро уменьшается. Название свободная объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, свободного от вынуждающей силы (однородного уравнения без правой части).

Из трех токов (полного, принужденного и свободного) и трех напряжений (полного, принужденного и свободного) основное значение имеют полный ток и полное напряжение.

Полный ток является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, полное напряжение — это напряжение, которое в действительности имеется между некоторыми точками электрической цепи при переходном процессе. Его также можно измерить и записать на осциллограмме.

Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений Во время переходного процесса играют вспомогательную роль; они являются теми расчетными компонентами, сумма которых дает Действительные величины.

Здесь следует еще раз обратить внимание на тот факт, что при любых переходных и установившихся процессах соблюдают два основных положения: ток через индуктивную катушку и напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление