Главная > Схемотехника > Теоретические основы электротехники
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8.63. Метод пространства состояний.

Метод пространства состояний (метод переменных состояния) представляет собой упорядоченный способ нахождения состояния системы в функции времени, использующий матричный метод решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Коши (в нормальной форме). Применительно к электрическим Цепям под переменными состояния понимают величины, определяющие энергетическое состояние цепи, т. е. токи через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин полагаем известными к началу процесса. Переменные состояния в обобщенном смысле назовем Так как это некоторые функции времени, то их можно обозначить

Пусть в системе переменных состояния. Матрицу-столбец переменных состояния в -мерном пространстве состояний обозначим выходных величин (токи, напряжения) обозначим у, матрицу-столбец выходных величин

Источники воздействий (источники ЭДС и тока) будем именовать z. Матрица-столбец источников воздействий

Для электрических цепей можно составить матричные уравнения вида (программа решения на ЭВМ уравнения (8.67) приведена в [23]).

где — некоторые матрицы, определяемые структурой цепи и значениями ее параметров.

На основании принципа наложения решение (8.67)

где — матрица начальных значений х.

Первое слагаемое в формуле (8.69) описывает свободные процессы в системе, второе — принужденные и свободные при нулевом исходном состоянии [вывод формулы (8.69) см. в конце параграфа]. Из (8.68) и (8.69) находим

Поясним формулу (8.69) на простом примере. Ток в схеме рис. 8.42 до коммутации был Уравнение состояния для этой схемы , т. е.

Рис. 8.42

Матричную функцию в формуле (8.69) вычисляют по формуле (теореме) Сильвестра [13]:

где

- собственные значения (характеристические числа) квадратной матрицы т. е. корни уравнения

Из уравнения (8.73) следует, что уравнение относительно X составляют, приравнивая нулю определитель матрицы в котором все элементы этой матрицы расположенные по главной диагонали, заменяют на элементы .

Характеристические числа к — это не что иное, как корни характеристического уравнения послекоммутационной схемы. Запись решения в виде ряда (8.71) предполагает, что все характеристические числа различны (нет кратных корней). Если же среди корней уравнения будет кратный корень кратности s, то составляющая обусловленная этим корнем, имеет вид

где - присоединенная матрица к матрице . В ней все элементы заменены на алгебраические дополнения, а затем проведено транспонирование. Составляющие решения по формуле (8.74) соответствуют части решения по формуле разложения (см. § 8.50), учитывающей кратные корни. При машинном счете функцию подсчитывают разложением в ряд:

Пример 106. Методом пространства состояний исследовать переходный процесс в схеме рис. 8.43, а. До коммутации был установившийся режим; .

Рис. 8.43

Решение. Обозначим токи и напряжения в соответствии с рис. 8.43, а. До коммутации

В качестве переменных состояний выбираем ток и напряжение на конденсаторе .

Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим наиболее целесообразный, основанный на сведении послекоммутационной схемы к резистивной с источниками ЭДС и тока. С этой целью индуктивные элементы в послекоммутационной схеме заменяем на источники тока, которые доставляют ток в том же направлении, что и в исходной схеме (в рассматриваемом примере L заменяем на источник тока с напряжением на нем ), а конденсатор С — на источник ЭДС, причем в соответствии с теоремой конденсации ЭДС этого источника должна быть направлена встречно току в ветви с конденсатором, т. е. встречно напряжению на конденсаторе (в рассматриваемом примере конденсатор С с напряжением на нем заменен на источник ЭДС ).

В результате схема окажется без индуктивных и емкостных элементов (чисто резистивной), но с дополнительными источниками тока и ЭДС (рис. 8.43, б).

В полученной резистивной схеме один из узлов заземлим. Составим уравнения по методу узловых потенциалов и определим потенциалы незаземленных узлов. В рассматриваемом примере не заземлен всего один узел а. Поэтому

По известным потенциалам узлов рассчитаем напряжения на источниках гока , эквивалентирующих индуктивные элементы и токи через источники ЭДС, эквивалентирующие емкостные элементы емкостью

Для первой ветви схемы рис. 8.43, б

Отсюда

Ток второй ветви можно определить по первому закону Кирхгофа или по закону Ома для участка цепи с источником ЭДС:

Следовательно, . Таким образом, уравнения переменных состояния для послекоммутационной схемы рис, 8 43, а таковы:

или

Составим уравнение для определения характеристических чисел .

Таким образом, . По формуле (8-72)

По формуле (8.69),

Выполнив подсчеты, получим

Если за выходную величину у принять напряжение между точками d и то

Поясним переход от (8.67) к (8.69).

Решение неоднородного уравнения (8.67) можно получить в виде суммы полного решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Полное решение однородного уравнения

где — постоянная величина, найдем по аналогии с решением скалярного дифференциального уравнения в виде

Подставив (8.76) в (8.75), убедимся в справедливости решения однородного уравнения (8.75). Функцию обозначим . Так как

В соответствии с методом вариации произвольных постоянных частное решение неоднородного уравнения представим в виде

Общее решение

где R(t) нужно определить.

Подставим

в уравнение (8.67):

Поскольку есть матрица, столбцы которой являются решением уравнения (8.75), то первый член выражения (8.78) — нулевая матрица. Следовательно,

Проинтегрируем (8.79) от до

Из уравнений (8.77) и (8.80) следует 8 81)

но . Умножая (8.81) слева на и учитывая, что

получим

Рис. 8.44

Полагая в (8.82) и заменяя затем переменную на , получим формулу (8.69).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление