Главная > Физика > Сопротивление материалов (Биргер И.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Условия экстремума функционала, уравнение Эйлера — Пуассона, метод Рэлея — Ритца.

Поставим задачу — отыскать функцию , для которой первая вариация функционала обращается в нуль:

Функция f(x) в этом случае называется экстремалью, а значение — экстремумом функционала.

Равенство (58) не дает сразу ответа для поставленной задачи, так как подынтегральные члены разнородны. Преборазуем правую часть уравнения (58) с помощью интегрирования по частям. Предварительно отметим

Подобные преобразования дают

(61)

Повторяя интегрирование по частям в последнем члене равенства (61), находим

Теперь условие (59) можно записать так:

Равенство (63) должно быть справедливым для произвольной вариации . В частности, если рассматривать вариации обращающиеся в нуль на концах интервала, а в промежуточных точках произвольные, то интеграл будет равен нулю только при условии

Это и есть дифференциальное уравнение Эйлера — Пуассона для функции . Опять же в силу произвольности вариации должны выполняться краевые условия

Итак, для решения вариационного уравнения (59) следует найти решение уравнения (64) при краевых условиях (65) и (66).

Построение точных решений дифференциальных уравнений часто оказывается затруднительным, и для решения уравнения (59) применяют приближенные методы, в частности метод Рэлея — Ритца.

Метод Рэлея — Ритца состоит в следующем. Допустим, что функция f(x) может быть представлена рядом

где - заранее выбранные функции, удовлетворяющие наложенным на систему связям; с — коэффициенты, подлежащие определению.

Соответственно

Внося значения в равенство (59) и проведя интегрирование, находим

Вариация функционала теперь определяется так:

Учитывая условия (59) и считая вариации совершенно произвольными, получаем уравнений

из которых определяем неизвестных:

Примеры использования уравнения Эйлера — Пуассона и метода Рэлея — Ритца будут приведены в дальнейшем.

Точное решение вариационного уравнения

должно обеспечивать его выполнение при произвольных вариациях разумеется, согласованных со связями системы. В методе Рэлея—Ритца вариация.

Класс вариаций функций ограничен выбором и числом функций, что означает наложение дополнительных связей на систему, повышающих ее «жесткость».

Очевидно, если система функций обладает достаточной полнотой, приближенное решение будет ближе к точному.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление