Главная > Физика > Сопротивление материалов (Биргер И.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Применение начала возможных перемещений, вариационное уравнение Лагранжа.

Пусть имеется твердое деформируемое тело (рис. 9.10), к поверхности которого приложены распределенные нагрузки , а на элементы тела действуют массовые (объемные) силы F.

Рис. 9.10. Применение начала возможных перемещений

Допустим, что упругие смещения точек тела получили вариации (возможные перемещения) , совместимые с геометрическими связями. Поэтому на части поверхности где смещения являются заданными (например, поверхность заделки), вариации смещений отсутствуют. В результате вариации смещений изменится потенциальная энергия деформации и произойдет работа внешних сил

где — часть поверхности тела с заданными внешними усилиями.

Начало возможных перемещений применительно к деформируемому телу формулируется следующим образом: в состоянии равновесия возможная работа внешних сил равна приращению потенциальной энергии деформации:

Начало возможных перемещений (73) можно записать в виде вариационного уравнения Лагранжа

где U — потенциальная энергия деформации;

— возможная работа внешних сил.

При определении возможной работы значения и направления внешних нагрузок считаются неизменными (множитель 1/2 отсутствует).

Вариация функции W (уравнение (72)) получается в результате варьирования перемещений при постоянных внешних силах. Легко видеть, что W равно удвоенной работе внешних сил, приложенных статически к упругому телу:

Величина

называется полной потенциальной энергией системы.

Величину П можно представить в матричной форме (см. уравнение (15)):

где

— векторы перемещений, поверхностной нагрузки и массовых сил. При решении задач теории упругости с помощью вариационного уравнения Лагранжа обычно в качестве основных неизвестных принимаются смещения , что обеспечивает выполнение условий совместности деформаций. Вариационное уравнение

гарантирует выполнение уравнений равновесия и краевых условий, т. е. приводит к точному решению задачи.

Замечания. 1. При выводе формулы для полной потенциальной энергии системы (функционала Лагранжа) не требовалось выражение для вариации энергии деформации. Оно имеет следующий вид:

В правой части равенства (72) стоит возможная работа внутренних силовых факторов, которые при вариации деформаций считаются постоянными. В связи с этим начало возможных перемещений для деформируемого тела можно представить в более общей форме:

пригодной и для неупругих систем.

В состоянии равновесия возможная работа внешних сил равна возможной работе внутренних силовых факторов.

2. Вариация полной потенциальной энергии происходит в результате вариации перемещений. Последние должны удовлетворять наложенным на Систему связям, (внешним—условиям закрепления и т. п. и внутренним — условиям непрерывности деформаций).

Полная потенциальная энергия деформации выражается через перемещения и их производные. Методы, основанные на начале возможных перемещений, часто называют методами вариации перемещений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление