Главная > Физика > Сопротивление материалов (Биргер И.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Применение начала возможных перемещений для определения прогибов стержней. Интеграл Мора.

Этот метод имеет широкое распространение при решении практических задач. Пусть имеется стержень, загруженный произвольными силами (основная система, рис.

9.13, а), и в сечении а возник прогиб Для его определения поступим следующим образом.

Рис. 9.13. Вывод интеграла Мора из начала возможных перемещений: а — основная система; б — единичная система

Рассмотрим тот же стержень под действием единичного усилия (единичная система, рис. 9.13, б).

Стержень получит прогиб в сечениях стержня под действием единичной силы возникнут изгибающий момент и перерезывающая сила .

Допустим теперь, что единичной системе (рис. 9.13, б) сообщили возможные смещения, равные действительным прогибам стержня в основной системе:

Равенство (97) вполне закономерно — прогибы являются малыми величинами, удовлетворяющими связям системы.

Так как возможная работа внешних сил равна возможной работе внутренних силовых факторов (начало возможных перемещений), то

где соответствуют прогибам в основной системе.

Далее имеем с учетом температурных деформаций (см. уравнение (15) гл. 8)

где жесткость сечения на изгиб, - температурный момент.

Деформация, сдвига (см. разд. 35) равна

Таким образом, прогиб в сечении а будет

Это и есть интеграл Мора для вычисления прогиба стержня.

Для того чтобы найти прогиб в заданном сечении, нужно приложить единичную силу в этом сечении, определить изгибающий момент и перерезывающую силу от единичной силы и вычислить интеграл Мора (101). Если величина получается положительной, то прогиб совпадает по направлению с единичной силой.

Во многих практических задачах интеграл, связанный с действием перерезывающей силы, может быть опущен.

Для стержня с постоянными параметрами упругости, пренебрегая перерезывающими усилиями и неравномерным нагревом, будем иметь

Замечание. Следует отметить, что имеет размерность длины, а — безразмерная величина, так как в равенстве (98) была сокращена размерная единица силы (см. примеры).

Пример. Пусть требуется определить прогиб конца консольного стержня прямоугольного сечения, загруженного силой Р (рис. 9.14), с учетом деформации сдвига.

Воспользуемся формулой (101), считая параметры упругости постоянными, материал стержня равномерно нагретым

Знак минус означает, что прогиб направлен в сторону, противоположную приложенной единичной силе.

Решение совпадает с прежними результатами (см. разд. 34).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление