Главная > Физика > Сопротивление материалов (Биргер И.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Общий случай определения прогибов с помощью интеграла Мора.

Одно из основных преимуществ интеграла Мора состоит в том, что он, в сущности, не связан с какой-либо общей системой координат.

Рис. 9.14. Определение прогиба стержня с помощью интеграла Мора: а — основная система; б — единичная система

Рис. 9.15. Правило знаков для изгибающих моментов и сил (показаны положительные направления)

Рис. 9.16. Физический смысл интеграла Мора (проекция перемещения точки на направление приложенной единичной силы)

Правило знаков для силовых факторов выбрано заранее в местной системе координат (рис. 9.15), которая может быть ориентирована произвольным образом в пространстве. Ось s в каждом сечении направлена по касательной к оси стержня.

Важно только, что для силовых факторов от внешней нагрузки и единичного силового фактора применяется единое правило знаков. Перемещение точки стержня в направлении единичной силы определяется следующим равенством:

Напомним, что оси х, у являются главными приведенными осями сечения; — жесткости сечений на растяжение, изгиб и сдвиг; — силовые факторы в сечении стержня от действия единичной силы. Подчеркнем, что по смыслу вывода величина 6 не является полным перемещением точки оси стержня, а является проекцией на направление действия единичной силы. Например, для стержня, показанного на рис. 9.16, полное перемещение точки А равно , а интеграл Мора дает величину .

Для неравномерно нагретых стержней к величине б добавляется

где в соответствии с равенствами гл. 8 температурные усилия равны

Замечание. Интеграл Мора применим для определения прогибов при упругопластических деформациях. В этом случае характеристики жесткости определяются методом переменных параметров упругости.

Рис. 9.17. Работа единичного момента

Определение угла поворота с помощью интеграла Мора. Для этого в сечении (рис. 9.17), где требуется определить угол поворота, прикладывается единичный момент . В стержне под действием единичного момента возникнут силовые факторы и т. д.

Считая прогибы стержня под действием внешней нагрузки возможными перемещениями для единичной системы, получим, подобно равенству (102), где — изгибающий момент от внешней нагрузки.

В общем случае справедлива формула (103), в которой заменяется на а силовые факторы определяются от единичного изгибающего момента.

Замечание. Возможны дальнейшие обобщения интеграла Мора, когда прикладывается не единичный силовой фактор, а единичная система сил. Физический смысл интеграла Мора вытекает из того, что он представляет возможную работу единичной системы сил на перемещениях основной системы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление