Главная > Физика > Сопротивление материалов (Биргер И.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Общие свойства упругих систем.

Рассмотрим два важных свойства линейных упругих систем произвольной структуры, которые называются принципом независимости действия сил и принципом взаимности.

Принцип независимости действия сил утверждает, что в упругой системе напряжения и деформации от действия одной нагрузки не зависят от наличия или отсутствия других нагрузок.

Более строгая формулировка требует указания о линейности системы; напряжения и деформации должны быть пропорциональны действующей нагрузке.

Например, при контактной деформации упругих шаров принцип независимости действия сил несправедлив, так как зависимость перемещения от силы оказывается нелинейдой. По этой же причине принцип независимости действия сил не может использоваться при наличии пластических деформаций или деформаций ползучести. Из принципа независимости действия сил вытекает, что действие суммы сил равно сумме действий каждой силы в отдельности.

Важным следствием принципа является утверждение, что результат действия суммы сил не зависит от порядка их приложения.

Принцип независимости действия сил подтверждается экспериментально и хорошо проверен на практике. Его теоретическое доказательство рсновывается на том, что линейные упругие системы описываются линейными дифференциальными уравнениями, для которых справедлив принцип суперпозиций.

Замечания. 1. Важным условием, сопутствующим применению принципа независимости действия сил, является принцип начальных размеров, в соответствии с которым условия равновесия рассматриваются для начального, недеформированного состояния. Если принцип начальных размеров в рассматриваемой задаче не может быть использован, то, как правило, неприменим и принцип независимости действия сил.

2. Для справедливости принципа независимости действия сил требуется одинаковая линейная зависимость усилий и перемещений при нагружении и разгрузке.

3. Разномодульные упругие конструкции, у которых параметры упругости зависят от знака действующих напряжений, не относятся к числу линейных систем, и для них, следовательно, принцип независимости действия сил неприменим.

Принцип взаимности.

Этот принцип основан на принципе независимости действия сил и является его следствием.

Рис. 9.29. Принцип взаимности для упругих систем

Рассмотрим произвольное упругое тело (рис. 9.29), к которому приложены единичные силы Пусть — перемещение точки при действии только одного усилия — проекция этого перемещения на направление . В точке от единичного усилия возникает перемещение в направлении усилия равное . Если к телу приложена единичная сила то она вызывает перемещение точки обозначенное , и в точке — перемещение .

В соответствии с принципом независимости действия сил результат воздействия и, в частности потенциальная энергия деформации, не должен зависеть от порядка приложения нагрузки.

Пусть к упругой системе статически приложена сначала сила . Тогда потенциальная энергия деформации, равная работе внешних сил, составит . Если затем статически приложено усилие то произойдет увеличение потенциальной энергии деформации за счет работы внешних сил. Усилие совершит работу — , но, что самое важное, произведет работу усилие которое в процессе возрастания усилия оставалось постоянным (работа равна ). При указанном порядке нагружения (сначала затем ) потенциальная энергия деформации равна

Если изменить порядок нагружения (сначала затем ), получим

(150)

Приравнивая значения находим

Перемещения от единичных сил в других точках называются коэффициентами влияния.

Принцип взаимности утверждает: коэффициенты влияния являются симметричными, т. е. не изменяются при перестановке их индексов.

В общем случае

Замечание. В общем случае принцип взаимности утверждает: работа сил первой системы на перемещениях от второй системы сил равна работе сил второй системы на перемещениях от первой системы. В частном случае, когда первая система представляет единичную силу а вторая — единичную силу получается равенство (151).

Доказательство в общем случае полностью повторяет приведенный вывод.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление