Главная > Физика > Сопротивление материалов (Биргер И.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Определение секториальных упруго-геометрических характеристик сечения и координат центра жесткости.

Ранее было установлено, что главная секториальная площадь должна удовлетворять следующим условиям:

где х, у — координаты элемента площади относительно приведенных главных осей сечения; Е — модуль упругости материала стержня;

— секториальная площадь, соответствующая дуге 5 (удвоенная площадь сектора ). Секториальная площадь представляет криволинейный интеграл, и при его вычислении следует учитывать направление обхода (рис. 10.20).

Рис. 10.20. Зависимость величины секториальной площади от изменения начала отсчета

В правой системе координат приращение положительно, если радиус-вектор получает дополнительный поворот против часовой стрелки (по направлению положительного крутящего момента). Если начало отсчета секториальной площади переносится из точки в точку , то новая секториальная площадь, соответствующая точке А, равна

где — секториальная площадь (соответствующая точке ) при начале отсчета в точке А. При изменении начала отсчета секториальной площади ее значение изменяется на постоянную величину. Для выполнения условия (96) можно выбрать произвольную точку средней линии профиля в качестве начала отсчета секториальной площади.

Подставляя соотношение

в равенство (96), находим

или

Значение определяет положение точки AQ — начала отсчета главной секториальной площади. Выражение для со при произвольном начале отсчета имеет вид

(102)

Формула (102) справедлива при любом полюсе секториальной площади.

Рис. 10.21. Определение координат центра жесткости (точки ) в системе координат, оси которой соответственно параллельны главным осям

Определение координат центра жесткости. Пусть имеется система координат (рис. 10.21), оси которой соответственно параллельны главным осям сечения и для точки рассматриваемой как полюс, определена секториальная площадь со при начале отсчета в точке . Найдем связь между секториальной площадью , имеющей полюс в центре жесткости (точке ), и величиной со. Начало отсчета (точка А) остается неизменным.

Будем иметь

Если — угол между касательной к средней линии профиля и осью у, то (см. рис. 10.21)

где — координаты центра жесткости в системе координат . Так как

то из соотношений (103) находим

Интегрируя это выражение вдоль дуги s, получим

где х, у — координаты точки средней линии профиля (в главной системе координат), для которой определяется секториальная площадь; С — постоянная интегрирования. В силу условий (97) и (98)

(106)

Так как оси х, у являются главными, то, ссылаясь на равенства (63), получим из соотношений (106)

Для стержня с постоянными параметрами упругости

где — моменты инерции сечения относительно главных осей. Координаты центра жесткости относительно главных осей равны

где — координаты произвольного полюса О.

Отметим, что формулы для координат центра жесткости справедливы при любом выборе начала отсчета секториальной площади.

Рис. 10.22. Расположение центра жесткости и центра тяжести О некоторых профилей

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление