Главная > Физика > Сопротивление материалов (Биргер И.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 12. ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ

Динамические явления играют важнейшую роль в современной технике. Колебания элементов конструкций часто являются причиной разрушений и катастроф. При проектировании технической системы необходимо знать ее частотные характеристики и избегать динамического усиления внешних возбуждений. Основы теории колебаний излагаются в курсе теоретической механики. Однако колебания упругих систем, особенно систем с распределенными параметрами, имеют ряд особенностей, с которыми необходимо познакомиться.

42. Изгибные и продольные колебания стержней

Колебания груза, закрепленного на стержне (балке).

Такая динамическая схема встречается при расчете фундаментных балок и стержней, крепящих тяжелые агрегаты (дизели, турбины и т. п.), и в ряде других случаев. Будем считать массу стержня малой по отношению к массе груза.

Рассмотрим сначала свободные колебания балки с грузом (рис, 12.1), вызванные случайным первоначальным отклонением.

Рис. 12.1. Свободные колебания груза, закрепленного на стержне

В отклоненном положении, которое характеризуется смещением зависящим от времени t, на груз действуют сила тяжести Q и сила упругости

где — прогиб балки в месте приложения груза (массы) от единичной силы.

Уравнение движения груза имеет вид

где — масса груза.

Обозначая

получим дифференциальное уравнение

Общий интеграл этого уравнения можно представить так:

где — прогиб балки под действием силы веса; начальное отклонение и скорость (при ).

Пусть в начальный момент времени груз получил отклонение

Тогда из соотношения (5), считая начальную скорость равной нулю, получим

После начального отклонения система начинает совершать колебания с круговой частотой амплитудой v относительно положения статического равновесия (прогиба ). В дальнейшем постоянные во времени силы не будут рассматриваться, следует только считать, что система совершает колебания относительно положения равновесия.

Замечание. Для дифференциального уравнения колебаний

нормальными фундаментальными функциями (разд. 31) являются следующие:

и общее решение уравнения (8) примет вид

При получаем решение (5).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление