Главная > Физика > Сопротивление материалов (Биргер И.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Напряжения в произвольной косой площадке.

В наклонной площадке, нормаль к которой v (рис. 2.23), действуют нормальное и касательное напряжения, подлежащие определению. По грани ABC приложены известные напряжения по двум другим граням — соответственно . Так как размеры элементарного тетраэдра бесконечно малы, то напряжения по граням представляют, в сущности, напряжения в различных площадках, проходящих через точку А (или какую-либо другую точку - разницы нет).

Бесконечно малые размеры четырехгранника (тетраэдра) дают так же возможность пренебречь массовыми силами по сравнению с поверхностными, приложенными по его граням.

Для определения напряжений в наклонной площадке проще всего найти сначала составляющие полного напряжения по осям. Проектируя силы (а не ), действующие по граням тетраэдра, на направления осей, находим

Рис. 2.23. Нормальное и касательное напряжения в косой площадке; — вектор полного напряжения в площадке ; — проекции полного напряжения на оси х, у, z

Учитывая зависимости (51), (53), получаем важные соотношения

Напомним, что в силу парности касательных напряжений

Для того чтобы найти величину нормального напряжения, надо спроектировать каждую из составляющих вектора на направление v и образовать их сумму

Ссылаясь на соотношения (55) — (57), можно утверждать

(59)

В частном случае плоского напряженного состояния, когда рассматривается наклонная площадка, параллельная оси z, будем иметь и тогда

Так как в разбираемом случае

то формула (60) совпадает с аналогичной формулой (17). Касательное напряжение в косой площадке равно

Направление можно определить из условия, что линия действия касательного напряжения является линией пересечения плоскости, содержащей векторы . Однако направление для дальнейшего несущественно, и детализацию вопроса опустим.

Замечания. 1. Знание напряжений (нормальных и касательных) по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку тела, дает возможность определить напряжения в любой другой площадке, также проходящей через эту точку.

2. После получения общей формулы для нормальных напряжений в косой площадке она была применена для уже известного частного случая (плоского напряженного состояния). Такая процедура всегда желательна, а при исследовании новых вопросов просто необходимо проверять результат на известных ранее случаях,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление