Главная > Физика > Сопротивление материалов (Биргер И.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы.

Ранее была определена критическая сила для стержня с двумя шарнирными опорами по концам (формула Эйлера). Рассмотрим на нескольких примерах другие случаи закрепления.

Пример 1. Устойчивость консольного стержня под действием сжимающей силы.

Краевые условия задачи таковы:

Из решения (190) для краевых условий находим

Из уравнения (195) получаем и уравнение (194) дает

Так как , то из условия находим Критическое значение

получилось в четыре раза меньшим, чем для стержня той же длины, но с шарнирными опорами. Этот результат вполне естествен, так как консольный стержень работает в тех же условиях, что и шарнирно опертый стержень двойной длины (рис. 12.36).

Рис. 12.36. Сравнение значений критической силы при консольном и шарнирном закреплении

Полученное решение дает не только величины критического усилия (196), но и форму прогиба. Из формулы (187) находим

где С — произвольная постоянная.

Ввиду практического значения рассматриваемой задачи приведем обычное элементарное решение. Будем использовать уравнение (163):

или

Общее решение этого уравнения можно представить так:

Из краевых условий при находим

Таким образом, решение (199) приобретает вид

В равенстве (200) — неопределенный прогиб в конце стержня (см рис. 12.35). При равенство (200) сохраняется, если что приводит к формуле (196).

В рассматриваемом частном случае решение получилось простым, но менее общим, так как краевые условия использовались в неявной форме.

Пример 2. Устойчивость стержня с двумя заделанными сечениями (рис. 12.37). Краевые условия будут такими:

Из последних краевых условий с учетом равенств (190) получаем

Определитель этих уравнений должен обращаться в нуль, что дает

Рис. 12.37. Устойчивость стержня с двумя заделанными сечениями

Рис. 12.38. Схема решения уравнения

Рис. 12.39. Устойчивость стержня с одним заделанным и другим шарнирным концами

Из последнего уравнения находим

Наименьшие корни этих уравнений имеют вид

Наименьшее значение критической силы соответствует значению (203)

Замечание. Схема решения уравнения показана на рис. 12.38. Так как при малых z имеем то пересечение прямой и тангенсоиды получается при значении z, несколько меньшем .

Точное значение корня .

Пример 3. Устойчивость стержня с одним заделанным и другим шарнирным концами (рис. 12.39).

Краевые условия имеют вид

Из решения (190) находим

Из равенства нулю определителя уравнения получаем

или

Наименьший корень этого уравнения (см. рис. 12.38) равен

Критическая сила составит

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление