Главная > Физика > Сопротивление материалов (Биргер И.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Толстостенная труба под действием внутреннего и внешдего давлений.

Рассмотрим равномерно нагретый цилиндр с постоянными параметрами упругости вдоль радиуса, нагруженный давлением (рис. 14.5); вращение отсутствует ( ), и торцы цилиндра свободны от напряжений. Для указанного случая и дифференциальное уравнение (21) будет таким:

Решение уравнения (24) можно искать в следующем виде:

Рис. 14.5. Цилиндр под действием внутреннего и внешнего давлений

После подстановки в уравнение (24)

приходим к характеристическому уравнению корни которого равны

Решение уравнения (24) будет таким:

где — произвольные постоянные. Этот же результат можно получить другим путем. Из уравнения (24) имеем

(27)

Перенося в правую часть равенства и интегрируя, получаем

что совпадает с решением (26). Так как на торцах цилиндра внешние усилия отсутствуют, то можно положить и воспользоваться соотношениями (17) и (18), пренебрегая температурными членами. Тогда

Подставляя и из уравнения (26), находим

Постоянные следует определять из краевых условий (для радиальных напряжений)

Будем иметь

Из последних соотношений находим

Внося значения в равенства (31) и (32), получаем формулы Ламе

(36)

Для радиального перемещения из соотношений (26) и (35) устанавливаем следующую зависимость:

Замечания. 1. Обоснованность предположения, что сделанного при построении решения, доказывается следующим образом. Из уравнений (31) и (32) (или (36) и (37)) вытекает, что на всех радиусах

Так как в рассматриваемых задачах , то из соотношения (10) при получаем, что напряжение также должно быть постоянным. Внешнее усилие вдоль оси цилиндра отсутствует, и потому напряжение должно обращаться в нуль (иначе условия равновесия не удовлетворяются).

2. Для сплошного цилиндра в общем решении (26) следует положить так как при перемещение при . Из условия на внешнем контуре (34) получим

и тогда из соотношений (29) и (30)

Интересный результат!

3. Напряжение в цилиндре не зависит от природы упругого материала, формулы (36) и (37) не содержат модуля упругости и коэффициента Пуассона.

4. Формулы для напряжений в цилиндре были впервые получены Ламе (1795—1870) — французским ученым, долгое время работавшим в России.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление