Главная > Физика > Сопротивление материалов (Биргер И.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Уравнения пластичности в векторной форме.

В девиаторы деформаций и напряжений входят девять скалярных величин, которые можно представить как составляющие девятимерных векторов:

Верхний индекс означает операцию транспопировапия, при которой столбец заменяется строкой. Конечно, в равенствах (41) и (42) выписаны по три «лишние» составляющие, так как . Это сделано из физических соображений, с тем чтобы «размерности» вектора и тензора совпадали.

Уравнения пластичности в векторной форме будут такими:

Вектор-девиатор деформаций коллинеарен (пропорционален) вектору-девиатору напряжений .

Из уравнения (43) следует, что и модули векторов (их длины) связаны тем же соотношением:

Модули векторов характеризуют интенсивность напряжений и деформированного состояния в точке:

Для случая одноосного растяжения отличны от нуля следующие величины:

где — коэффициент Пуассона при упругопластических деформациях . Из равенства (45) находим для одноосного растяжения (проверьте!)

Для более удобного и наглядного сопоставления с результатами экспериментальных исследований при простом растяжении определим интенсивность напряжений о» следующим образом:

Тогда для случая одноосного растяжения будем иметь

Интенсивность напряжений при одноосном растяжении совпадает с растягивающим напряжением.

Значение при простом растяжении в соответствии с равенствами (46) и (47) будет таким:

Приближенное значение для упругопластических деформаций: . Целесообразно определить интенсивность деформаций следующим образом:

Тогда для одноосного растяжения

При коэффициенте Пуассона интенсивность деформации при одноосном растяжении совпадает с деформацией растяжения.

Учитывая равенства (49), (52) и (44), получим важную зависимость:

Замечание. Зависимость (54) можно получить непосредственно из уравнений пластичности (40), если каждое из шести равенств возвести в квадрат, сложить их, предварительно удвоив последние три равенства, и извлечь из суммы квадратный корень.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление