Главная > Физика > Курс лекций по теории звука
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Теорема взаимности

Гельмгольц в 1860 г. доказал важную теорему, носящую название теоремы взаимности: "Если в заполненном воздухом пространстве, частично ограниченном простирающимися на конечное расстояние Неподвижными телами, частично же неограниченном, в какой-либо точке А возбуждаются некоторым источником звуковые волны, то создаваемый ими в какой-либо другой точке В потенциал скоростей и по величине и по фазе совпадает с тем, который получился бы в точке если бы в В находился тот же источник звука".

Из теоремы взаимности следует, в частности, что точечный источник, помещенный в полюсе сферы (рис. 77), создаст на некотором расстоянии от центра сферы (в точке такое же звуковое давление, что и источник с той же объемной скоростью в точке на поверхности сферы на угловом расстоянии от радиуса, проведенного из точки к центру сферы. Это позволяет найти распределение давления на поверхности жесткой, неподвижной сферы, исходя из решения задачи о звуковом поле точечного источника, помещенного на полюсе сферы. Такая задача была решена в гл. 8. Звуковое давление в удаленной точке с координатой определяется выражением (8,76);

где производительность источника.

Из теории излучателя 0-го порядка известно что бесконечно удаленный источник с производительностью расположенный на положительной оси на расстоянии х, дает в точке звуковое давление Эту величину

нужно подставить в формулу (9,6), если предполагать, что давление создается удаленным источником.

Подсчитаем суммарное звуковое давление на поверхности сферы. Из равенств (9,3) и (9,6) следует:

Используя соотношения (8,26), получим:

Преобразуем выражение в квадратных скобках, входящее .в сумму (9,14):

Используя формулы для производных получим:

Так как согласно (8,21)

то

После всех этих преобразований приведем выражение в скобках формулы (9,14) к виду:

Тогда

Откуда, подставляя найдем:

Учитывая, что направление отсчета фазы в формуле (9,13) обратно направлению ее отсчета в формуле (9,15), заключаем, что обе формулы дают величины давления, совпадающие как по амплитуде, так и по фазе, что соответствует требованию теоремы взаимности. Распределение интенсивности звука по поверхности сферы в функции от угла дано на рис. 79 при различных значениях параметра По оси ординат отложены величины в логарифмическом масштабе. Эти величины вычисляются по формуле для интенсивности звука точечного источника, расположенного на полюсе сферы (8,75). На рисунке отложены значения функции

Рис. 79

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление