Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16. Возвращение к условиям интегрируемости.

Небесполезно, чтобы завершить эту главу коротко, изложить условия интегрируемости в том виде, в каком их можно найти в классической литературе.

Вернемся к обозначениям и понятиям гл. III (§ 13) и напишем вторую основную квадратичную форму в виде

Поскольку эта форма инвариантна, коэффициенты будут компонентами тензора. Но в силу (III, 10) проекция вектора на касательную плоскость имеет конравариантные компоненты следовательно, можно написать

С другой стороны, мы видели [см. (1.2)], что вектор имеет ковариантные компоненты что можно записать так:

Дифференцируя (16.2), получим

Воспользуемся симметрией относительно индексов сравнивая члены, содержащие вектор находим

вычитая из обеих частей величину напишем это равенство в виде

Мы получили формулы Кодацци, которые показывают, в силу симметрии коэффициентов что можно произвольно переставлять индексы эти формулы сводятся к двум:

Равенство коэффициентов в членах, содержащих в уравнении (16.4), дает

Эти равенства сводятся к тождествам или дают различные выражения полной кривизны (см. III, упражнение 10), так как выражение в скобках в последней строке равно или нулю) таким образом, снова приходим к теореме Гаусса. Дифференцируя (16.3), мы также получаем уравнения Кодацци.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление