Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10. Условия интегрируемости в терминах форм ...

Мы положим

где симметричны. Так как инварианты, то с одной стороны, с другой стороны, — компоненты симметричных тензоров. Мы будем употреблять обозначения и операции из .

Мы должны сначала выразить, что могут быть одновременно приведены к виду (9.1) и (9.6). Имеем

откуда

Это равенство записывается следующим образом, если взять в форме (10.1) (условия аполярности):

Дифференцируя (10.2) по находим

Отсюда

Принимая во внимание равенства мы выводим отсюда, что

что дает выражение для аффинной кривизны.

Теперь нужно выписать условия интегрируемости. Дифференцируя (9.2), имеем в силу

Возвращаясь к формуле , мы напишем

Принимая во внимание симметрию по заключаем, что

С другой стороны, из равенства

с помощью леммы Риччи получаем, что

Мы имеем, таким образом, четыре уравнения, позволяющие вычислить для Получаем

Эти выражения имеют место и тогда, когда . В этом можно убедиться, дифференцируя или, исходя из равенств ковариантное дифференцирование которых дает, как нетрудно видеть,

Внося найденные выражения в (10.6) и возвращаясь к вместо мы находим, что члены, содержащие в качестве сомножителя в коэффициенте при сводятся к

и мы имеем окончательно, принимая во внимание равенство

Положим Имеем, используя формулы (10.7),

Скобка содержит двенадцать членов, получающихся из членов выражения для заменой на . Мы находим, что

Положим, с другой стороны,

В силу формул системы дающих можно написать

Используя (9.4) для того, чтобы выразить инвариантные производные кривизны имеем

Перепишем окончательно формулу:

Из выражений (10.10) для тензора выводим, что

Отсюда мы получаем соотношение

эквивалентное соотношению

Чтобы подсчитать в терминах мы заметим, что в силу

где С обозначает кривизну формы Уравнение системы

запишется тогда в виде

Остается выразить два последних условия интегрируемости, относящиеся к Полагая

находим, что

Вычислим вторые производные Используя (10.7), имеем

Симметрия по I и по дает, следовательно,

Принимая во внимание (10.3) и (10.12), из этих соотношений получаем, наконец,

Окончательно имеем следующую теорему (Радона):

Неразвертываю щаяся поверхность определяется, с точностью до аффинного унимодулярного преобразования, заданием двух дифференциальных форм имеет отличный от нуля дискриминант), если эти формы связаны соотношением аполярности (10.3) и условиями (10.14). При этом К определяется формулой (10.5), — формулой (10.13) и формулой (10.11).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление