Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Единственная

глава

1. Формулы перемещений репера. Перемещения коррелятивного репера.

В этой главе мы будем излагать теорию кривых в и теорию кривых и поверхностей в мы ограничимся выводом формул Френе в общем случае; только в случае плоских кривых мы будем говорить о частном случае конических сечений. Напомним сначала формулы перемещений репера . В проективной плоскости точку которой мы обозначим через будем рассматривать реперы (называемые нормированными), образованные тремя аналитическими точками с определителем

Мы видели, что для проективной группы

нормированной равенством

инфинитезимальные преобразования имеют вид

с уравнениями структуры

Заметим, что эти соотношения — не что иное, как соотношения, описывающие перемещения триэдра с фиксированным началом в

аффинном унимодулярном пространстве трех измерений ; геометрически это выражает тот факт, что, если рассматривать координаты аналитической точки как координаты точки аффинного пространства, то формула (1.1) для нормированного репера показывает, что тетраэдр с вершинами и началом координат О имеет объем 1/6, тогда как формулы (1.2) показывают, что нормированные преобразования можно интерпретировать как аффинные унимодулярные преобразования, оставляющие неподвижным начало.

Всякому нормированному реперу из аналитических точек коррелятивно присоединим репер, образованный геометрически прямыми и аналитически мы его будем определять в коррелятивной плоскости аналитическими точками с

(если координаты точек то произведение а по определению будет равно числу ).

Чтобы изучать одновременно перемещения репера и присоединенные перемещения его коррелятивного репера, положим

Дифференцируя уравнение (1.5), получим тогда

откуда

следовательно, матрица компонент не что иное, как матрица, получаемая из матрицы транспонированием и изменением знака.

В пространстве с координатами аналитической точки мы будем рассматривать нормированные реперы

и нормированные преобразования

Формулы инфинитезимальных перемещений репера и уравнения структуры аналогичны предыдущим уравнениям (1.3) и (1.4), но индексы изменяются теперь от 1 до 4; коррелятивный репер и его перемещения задаются формулами, аналогичными (1.5), (1.6) и (1.7), с той же заменой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление