Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Теория поверхностей. Репер Френе.

Рассмотрим поверхность реперами нулевого порядка опять будут реперы, имеющее точку первой вершиной как выше, будут главными компонентами, и мы имеем

Реперами первого порядка будут реперы, у которых плоскость является касательной плоскостью к поверхности в точке тогда что дает с помощью внешнего дифференцирования

откуда, в силу леммы Картана (0, II, 9),

Отметим еще формулы

Из уравнений (8.1) получаем внешним дифференцированием

Поскольку, в силу леммы Картана, эти скобки будут линейными комбинациями форм их вариация равна нулю, откуда следует, что

Мы узнаем формулы, аналогичные формулам ; мы находим затем

Мы не будем изучать случай, когда который будет соответствовать развертывающимся поверхностям, и ограничимся рассмотрением случая, когда асимптотические будут действительными (можно сказать также, что речь идет об общем случае в

аналитической области). Можно нормировать репер, выбрав

если применить лемму Картана к уравнениям то, учитывая предыдущие уравнения, можно написать:

Отсюда

что дает для вариаций

подвергаются линейным преобразованиям, и можно произвести нормирование, приняв (откуда ). Исключая затем случай, когда который, как легко видеть, приводит к линейчатым поверхностям, можно принять затем (все время в поле комплексных чисел), что дает откуда следует Применяя лемму Картана к уравнениям (8.2), имеем:

Отметим также, что теперь

поскольку в правой части более нет вторичных компонент, то формы не зависят теперь ни от каких параметров: это инвариантные формы.

Из уравнений (8.3) получаем внешним дифференцированием

Уравнения в вариациях запишутся следующим образом:

коэффициенты определяются только с точностью до констант. Поскольку имеется не более трех вторичных параметров, мы можем распорядиться ими так, чтобы приравнять нулю величины тогда и примут фиксированные значения, это будут

инварианты четвертого порядка. Мы положим и напишем, принимая во внимание уравнения (8.3), которые дают формы :

будут четырьмя новыми инвариантами. Уравнения (8.3) дадут еще два условия интегрируемости на шесть основных инвариантов: они показывают, что выражаются через и их инвариантные производные; другие условия интегрируемости получаются внешним дифференцированием выражений для форм

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление