Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Группа голономий.

Вернемся к трем первым из предыдущих гипотез. Мы покажем, что множество преобразований соответствующих преобразованиям в для всех замкнутых кривых т. е. исходящих из и возвращающихся в образует группу если считать кривой и такую кривую, которая сводится к одной точке ей мы поставим в соответствие тождественное преобразование.

Пусть, действительно, две замкнутые кривые, и соответствующие преобразования из Пробегая сначала мы переходим от репера Пробегая, далее, мы переходим от к следовательно, переходим от Преобразование принадлежит, таким образом, Если мы возьмем, в частности, то преобразование будет, очевидно, тождественным преобразованием; значит, Этим показано, что -группа.

Пусть аналогичная группа, относящаяся к другой точке Выберем кривую идущую из и пусть соответствующий репер. Всякой кривой исходящей из и возвращающейся в соответствует преобразование репера в репер и преобразование соответствует пробегу от Возвращение из вдоль переводит в следовательно, в т. е. обход кривой переводит в Окончательно мы видим, что принадлежит т. е. что а так как есть произвольное преобразование из Обратное доказывается аналогично; значит,

Эта группа не зависящая от называется группой голономии многообразия V для связности Когда она сводится к единице, мы имеем дело с плоской связностью, а именно, точке из V и реперу соответствуют в этом случае единственная точка из и один репер так как изображение всякой замкнутой кривой на V есть замкнутая кривая на исходя из репера мы к нему возвращаемся после пробега такой кривой. Когда непрерывное отображение есть гомеоморфизм, говорят, что многообразие V, снабженное заданной связностью, может быть погружено в Локальное изучение многообразия V сводится тогда к локальному изучению или некоторого многообразия, погруженного в

Определение группы есть, конечно, важная проблема глобальной теории перенесения, причем последующие рассмотрения находятся в тесной связи с определением ее уравнений структуры. Тем не менее мы не будем непосредственно заниматься этой проблемой и сосредоточимся на локальных рассмотрениях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление