Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Теория кривых.

Рассмотрим в пространстве с положительно определенной формой спрямляемую кривую определенную при помощи функций имеющих непрерывные производные по крайней мере до порядка где обозначает криволинейную абсциссу на кривой, предполагаемой ориентированной. Положим

где единичный вектор ориентированной касательной.

Прежде чем идти дальше, заметим, что если с каждой точкой на С связано два вектора таких, что то (в частности если ).

Рассмотрим теперь вектор Это инвариант, связанный с каждой точкой на С, и он ортогонален Он тождественно равен нулю только в том случае, если С есть геодезическая. В общем случае мы можем написать

где единичный вектор, направление которого выбрано таким образом, что скаляр который является инвариантом точки на С, положителен.

Рассмотрим, далее, вектор инвириантный вдоль С. Он ортогонален вектору в силу (7.1), и мы имеем также

Итак, можно в общем случае написать

где единичный вектор, ортогональный и и где положительный скаляр (исключая кривые, для которых в каждой точке, и, в общем случае, быть может, отдельные изолированные точки на С).

Вообще, определив векторы так, что

будем иметь для

и можно тогда написать

где если Если то выбрав вектор так, чтобы -эдр имел положительную ориентацию, мы уже не можем выбирать знак величины которая поэтому может быть положительной или отрицательной. Мы видим, далее, что

Формулы, которые мы установили, являются обобщениями формул Френе для кривых, лежащих в римановых пространствах; их

можно записать в виде

В случае, когда одно из есть тождественный нуль мы не будем выписывать уравнения с индексом выше (речь идет о специальных кривых пространства). Если только в некоторых отдельных точках на С, то мы рассматриваем эти точки как особые.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление