Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Замечания.

1° Задача, обратная предыдущей, — это задача отыскания эвольвент, т. е. кривых А, эволютой которых будет заданная кривая решается немедленно, если мы заметим, что точка на А, соответствующая точке на лежит на касательной к в точке пусть

нужно определить таким образом, чтобы Но

Умножение на дает

откуда

Итак, эвольвенты зависят от одного параметра это ортогональные траектории образующих развертывающейся поверхности, описанной касательными к кривой

2° Огибающая соприкасающихся плоскостей и огибающая нормальных плоскостей к нами изучены, рассмотрим, наконец, огибающую спрямляющих плоскостей; это третья плоскость триэдра Серре — Френе, ее уравнение имеет вид

поэтому ее характеристика получается присоединением к этому уравнению уравнения, полученного дифференцированием, а именно

Это уравнение плоскости, проходящей через главную нормаль и пересекающей спрямляющую плоскость вдоль мгновенной оси вращения триэдра Серре — Френе. В самом деле, линия пересечения этих плоскостей содержит вектор с координатами Данная кривая обладает тем свойством, что в каждой ее точке соприкасающаяся плоскость нормальна к огибающей спрямляющих плоскостей. Говорят, что она будет геодезической для этой огибающей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление