Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Поверхности, изометричные плоскости.

Как мы только что видели, поверхности, изометричные плоскости, будут поверхностями нулевой кривизны; сейчас мы их охарактеризуем.

Вернемся к уравнениям (I, 1.8) и допустим, что тогда также: так что вдоль линий имеем соотношения

показывающие, что эти линии — прямые, вдоль которых касательная плоскость остается постоянной; речь идет, следовательно, и развертывающихся, поверхностях.

Обратно, рассмотрим развертывающуюся поверхность, описанную касательными к линии Если обозначает текущую точку, мы напишем

где параметрами будут Обозначая через кривизну линии имеем

отсюда следовательно, в силу (4.4).

Легко видеть, что также для конусов и цилиндров; таким образом

Поверхности, изометричные плоскости, являются развертывающимися поверхностями, и обратно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление