Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.3. Основная лемма. Определение арифметических действий

Пусть каждому неотрицательному целому числу (индексу) в силу некоторого закона приведено в соответствие число Совокупность

называется последовательностью (чисел). Отдельные числа последовательности (1) называются ее элементами. Элементы при считаются отличными как элементы данной последовательности, хотя как числа они могут быть равны между собой, т.е. может быть Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если Для всех

Будем говорить, что последовательность (1) ограничена сверху (числом если существует целое число такое, что для всех

Если числа последовательности (1) целые, то будем говорить, что она стабилизируется к числу если найдется такое ко, что для всех

Очевидно, что если последовательность целых чисел не убывает и ограничена сверху числом то она стабилизируется к некоторому целому числу

Рассмотрим теперь последовательность неотрицательных десятичных дробей

Правые части в (2) образуют таблицу (бесконечную матрицу).

Будем говорить, что последовательность (2) стабилизируется к числу и писать

если столбец таблицы (2) стабилизируется к каково бы ни было При этом, очевидно, автоматически оказывается, что целое неотрицательное, а цифры.

Замечание. Последовательность чисел где

не стабилизируется. Из § 3.1, где вводится понятие предела, будет ясно, что данная последовательность имеет предел, равный Итак, последовательность десятичных дробей может иметь предел и в то же время не стабилизироваться. Однако из того, что следует, что (см. § 3.1).

Для произвольного числа введем его срезку представляющую собой конечную десятичную дробь. Мы считаем, что операции с конечными десятичными дробями читателю известны из курса арифметики. Очевидно,

и еще

потому что

Лемма 1. Если неубывающая последовательность (2) десятичных дробей, не имеющих периода 9, ограничена сверху числом то она стабилизируется к некоторому числу , удовлетворяющему неравенствам

Доказательство. Считаем, что исходные дроби не имеют периода 9, но все же может оказаться, что дробь имеет период 9. Столбцы матрицы (2) с номерами, не большими к, стабилизируются соответственно к

В самом деле, в условиях леммы целые числа не убывают и ограничены сверху числом поэтому они стабилизируются к некоторому целому неотрицательному числу 70 Пусть теперь для любого к установлено, что столбцы матрицы (2) с номерами, не большими к, стабилизируются соответственно к и верны неравенства (5). Тогда это утверждение верно для к

В самом деле, раз десятичные разложения чисел для при достаточно большом имеют вид

не убывает, то цифры не убывают и, следовательно, стабилизируются при где достаточно велико, к некоторой цифре При этом и мы доказали (5) для любого к и тот факт, что где

Отметим, что для любого к, поэтому , т.е. выполняется (4). В самом деле, если, например, для любого k, то цифры одинаковых разрядов равны между собой и

Если для некоторого то а т.е. а Аналогично доказывается, что

Лемма 1 имеет фундаментальный характер. Она служит основой для доказательства свойства V действительных чисел (см. ниже). На ее основе также даются теоретические определения арифметических действий над бесконечными десятичными дробями.

Сумма, произведение, разность и частное чисел определяем следующим образом:

Выражения слева в (6)-(9) не убывают при возрастании благодаря этому и ограниченности их сверху они на основании доказанной леммы стабилизируются к определенным числам, которые обозначаются соответственно через а Надо иметь в виду, что не убывает при возрастании не возрастает; кроме того, верны неравенства

(где s такое, что показывающие, что левые их части ограничены. Положим еще (пока для )

Мы определили для неотрицательных чисел их сумму, разность, произведение и частное, предполагая в случае разности, что а случае частного, что Эти определения распространяются обычными способами на числа произвольных знаков. Например, если то полагаем

Если же числа разных знаков и то полагаем

где выбирается знак, одинаковый со знаком . В частности,

Подобные правила можно было бы привести для остальных арифметических действий — они хорошо известны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление