Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 10. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

§ 10.1. Площадь в полярных координатах

Площадь фигуры, ограниченной двумя выходящими из полярного полюса О лучами и кривой заданной в полярных координатах непрерывной функцией может быть определена следующим образом (рис. 10.1).

Производим разбиение отрезка изменения 6:

Рис. 10.1

Рис. 10.2

Элемент площади фигуры, ограниченной кривой и лучами приближенно выражаем площадью кругового сектора, ограниченного теми же лучами и окружностью радиуса равной

Естественно считать по определению

Мы получили формулу площади фигуры в полярных координатах. Для непрерывной функции интеграл (1), как мы знаем, существует.

Конечно, возникает вопрос, будет ли определенная таким образом величина равна тому же числу, как если бы мы вычислили площадь нашей фигуры в декартовых координатах. Этот вопрос положительно решается на основании общей теории меры по Жордану (см. § 12.4).

Пример 1. Изображенная на рис. 10.2 окружность в полярных координатах определяется уравнением . В силу (1) ее площадь равна

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление