Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11.2. Действия с рядами

Если ряды сходятся и — число, то ряды также сходятся и

Действительно,

Подчеркнем, что из сходимости ряда, стоящего слева в (2), вообще не следует сходимость каждого из рядов, стоящих справа в (2). Например, ряд

сходится (все его члены равны 0), но выражение не имеет смысла, так как ряды, входящие в него, расходятся. Если ряд

сходится и имеет сумму 5, то члены его можно любым образом сгруппировать скобками (однако не переставляя их), например так:

образуя новый ряд, члены которого равны суммам чисел, стоящих в скобках. Новый ряд будет сходящимся и притом к потому что его частичные суммы образуют подпоследовательность сходящейся последовательности частичных сумм ряда (4).

Наоборот, раскрывать скобки в ряду, вообще говоря, незаконно, например после раскрытия скобок в сходящемся ряду (3) получается расходящийся ряд Впрочем, если внутри скобок всюду стоят только неотрицательные или неположительные числа, то раскрытие в таком ряду скобок не изменяет сходимости ряда и величины его суммы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление