Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14

Рассматриваем операцию

Зададим произвольную точку и куб :

с ребром Положим

и, пользуясь теоремой о среднем, операцию запишем равенствами

где значение в некоторой точке

Вводим еще другую (линейную) операцию

определяемую равенствами

где

Для точек имеет место

откуда

потому что

Таким образом,

где константа не зависит от

Полагаем

Пусть х и у — любые точки, принадлежащие А. Точка определяется равенствами (4), а точка равенствами

Но тогда

В частности, получилось, что ребра А длины переходят посредством в ребра параллелепипеда длины, не большей (порядка К).

Рис. 12.14

Рис. 12.15

Рассмотрим плоский случай Кубик А в этом случае есть квадрат. Он переходит при помощи операции в параллелограмм (см. рис. 12.14 и рис. 12.15), определяемый векторами

Длины их имеют порядок

(см. (7), но это видно и непосредственно из (8)). Площадь равна

Элементарными методами аналитической геометрии устанавливаем, что при помощи операций квадрат А отображается на параллелограмм Открытое ядро А переходит на открытое ядро а граница А — на границу

Аналогично, операция А отображает А на некоторое множество А (рис. 12.15), называемое криволинейным параллелепипедом. При этом открытое ядро А переходит в открытое ядро А, а граница А — в границу А (взаимно однозначно). Если на то это утверждение следует из § 7.18. В общем случае потребовались бы дальнейшие тонкие рассуждения, которые мы опускаем (см. 4-е издание этой книги, т. II, § 12.17).

Границы обозначим соответственно через Если то При этом Следовательно, х находится в круге радиуса с центром

Рис. 12.16

Отсюда следует, что принадлежит множеству которое определяется как объединение всех кругов радиуса с центрами в точках Множество представляет собой содержащую рамку, закругленную в углах (рис. 12.16). Такая рамка существует для любого А во всяком случае, если высоты параллелограмма удовлетворяют неравенствам

На рис. 12.16 изображен такой параллелограмм Площадь оценивается следующим образом:

Один из множителей во втором члене суммы заменен на константу. Имеем

Остается рассмотреть случай, когда (9) не выполняется. Пусть, например, Тогда

или

Таким образом, равенство (12) верно в любом случае

Наконец, (12) можно заменить на равенство

где любая точка в А, потому что такая замена изменяет первый член правой части (13) на величину порядка Ведь, например,

В трехмерном случае рамка состоит из шести утолщенных граней, общий объем которых не больше плюс объем округлений (ребер и вершин), имеющий порядок Это показывает, что при некотором

Дальше рассуждения ведутся так же, как при получении (12).

Итак, во всех возможных случаях имеет место равенство (2). При этом константа, входящая в остаток правой его части, не зависит от Из примечаний, которые делались попутно, видно, что доказательство в общем случае совершенно аналогично.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление