Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье

Для функции (вообще L) из формул (4) и (5) предыдущего параграфа следует, что

где

(разность в точке с шагом ).

В этих преобразованиях мы воспользовались периодичностью подынтегральной функции.

Равенство (1) дает выражение для остаточного члена ряда Фурье. Выяснение вопроса, сходится или не сходится ряд Фурье функции в данной точке к ее значению и связанные с этим вопросом оценки сходимости сводятся к исследованию поведения интеграла (1) при

Лемма 1. Пусть и задано число удовлетворяющее неравенствам Тогда сумма Фурье в точке х может быть представлена в виде

равномерно относительно т. е. для любого

при достаточно большом для любого

Доказательство. Условимся считать, что суть ограниченные функции, принадлежащие Доказательство основывается на теореме 2 из § 15.4 (см. ниже), в силу которой имеет место

равномерно относительно любых Имеем пояснения ниже)

Тот факт, что есть кусочно непрерывная ограниченная функция, очевиден.

Далее, для

Теперь имеем

равномерно относительно любых х. Следствие 1. Для

Доказательство. Надо положить в . Следствие 2. Для при любом х

и притом равномерно относительно принадлежащих отрезку на котором ограничена

В самом деле, умножая (4) на получим (5), где величина стремится при к нулю при всяком Если же , то

где правая часть не зависит от и все же стремится к нулю при , а это и значит, что при стремится к нулю равномерно на

Следствие 3. Имеет место равенство

Оно вытекает из (4), где в интеграле надо произвести замену переменной: и перейти к пределу при

Лемма 2. Если функция определена в точке то

и притом равномерно относительно принадлежащих отрезку, на котором ограничена.

Эта лемма непосредственно следует из леммы 1 и следствия 2.

Таким образом, вопрос о том, стремится ли левая часть (7) к нулю при в точке х или на отрезке всецело зависит от поведения главного члена правой части (7). Остаточный член уже стремится к нулю.

Остановимся еще на важном свойстве рядов Фурье, называемом принципом локализации. Если мы хотим узнать, сходится или не сходится ряд Фурье данной функции на отрезке или в точке достаточно знать ее свойства на каком-нибудь отрезке строго внутри себя содержащем или соответственно

В самом деле, положим Тогда для точек для которых мы хотим исследовать сходимость ряда Фурье, подынтегральное выражение в правой части (7) зависит от значений только на (ведь если и то

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление