Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.2. Непрерывность функции в точке

По определению функция называется непрерывной в точке (конечной) а, если она определена в некоторой окрестности точки а (в том числе и в самой точке а) и если

На основании сказанного в § 4.1 о пределе функции в точке можно дать следующую развернутую формулировку непрерывности функции в точке.

Функция называется непрерывной в точке а, если она определена на некотором интервале содержащем точку а, и для любого можно найти такое что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

В силу сказанного в § 4.1 приведенной формулировке полностью эквивалентна следующая формулировка.

Функция непрерывна в точке а, если она определена на некотором интервале содержащем а, и если для любой последовательности сходящейся к , имеет место

Если функция заданная в окрестности точки а, не является непрерывной в точке а, т.е. если для нее не выполняется высказанное выше свойство, то говорят, что она разрывна в точке а.

Можно дать и прямое определение разрывности в точке а.

Пусть функция определена в окрестности точки а, и пусть существует такое положительное число что для любого найдется точка такая, что

тогда разрывна в точке а.

Рассмотрим непрерывную кривую график непрерывной функции (рис. 4.2). Термин "непрерывная кривая" здесь употреблен в житейском (интуитивном) смысле — ее можно начертить всю, не отрывая карандаша от бумаги.

Зададим произвольное значение Ему соответствует значение нашей функции. Зададим и проведем три прямые параллельно оси соответственно на расстояниях и от оси

Рис. 4.2

Рис. 4.3

Легко видеть, что для нашей (непрерывной) кривой всегда можно подобрать такое (зависящее от ), что для всех принадлежащих интервалу соответствующие ординаты нашей кривой будут удовлетворять неравенствам

Другими словами, для любого можно указать такое что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Таким образом, математическое определение непрерывности функции отвечает интуитивному понятию непрерывной кривой.

Обратимся еще к графику, изображенному на рис. 4.3.

Этот график представляет собой разрывную кривую состоящую из двух непрерывных кусков Кусок взаимно однозначно

проектируется (в направлении оси у) на отрезок Кусок же предполагается лишенным левой концевой точки, он взаимно однозначно проектируется на полуинтервал Каждому значению соответствует единственное значение равное ординате точки кривой имеющей абсциссу х. Кривая разрывна, она состоит из двух не склеенных друг с другом кусков Разрыв имеет место при переходе аргумента х через значение с. Убедимся в том, что функция также не является непрерывной в точке с. Очевидно, что

Возьмем положительное число Внимательное рассмотрение чертежа показывает, что, как бы ни было мало среди значений удовлетворяющих неравенству имеются такие, а именно большие с, что для них

Таким образом, разрывному графику соответствует разрывная функция. В данном случае функция разрывна в точке с (ср. с § 1.4).

Величина называется приращением функции в точке соответствующим приращению независимой переменной.

Мы можем понятие непрерывности функции в точке а выразить еще следующим образом (на языке К): функция непрерывна в точке а, если функция от определена в некоторой окрестности и если для всякого найдется такое, что для выполняется

Иначе говоря, функция непрерывна в точке а, если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента, стремится к нулю вместе с

Из свойств предела функции (см. § 4.1) и определения непрерывности в точке немедленно следует

Теорема 1. Если функции непрерывны в точке а, то непрерывны также в точке а и их сумма разность и произведение а также и частное при добавочном условии, что

Докажем еще теорему о непрерывности функции от функции.

Теорема 2. Если функция непрерывна в точке а и функция непрерывна в точке то функция от функции непрерывна в точке а.

Доказательство. Зададим Вследствие непрерывности функции в точке найдется такое что функция определена на интервале и выполняется неравенство

А вследствие непрерывности функции в точке а найдется такое что функция определена на интервале для

Из полученных соотношений следует, что для всех удовлетворяющих неравенству (3), функция определена и имеет место неравенство

что и требовалось доказать.

Чтобы доказать непрерывность в точке рассуждают еще так. Так как функция непрерывна в точке а, функция непрерывна в точке кроме того, то для любой стремящейся к а последовательности имеет место

Если функция получена из нескольких функций с помощью только арифметических действий и операций функции от функции, то установление факта непрерывности в данной точке может быть сведено к последовательному применению предыдущих двух теорем, если эти теоремы применяются конечное число раз.

Отметим следующие теоремы, непосредственно вытекающие из определения непрерывности функций в точке и из теорем § 4.1 о пределе функции.

Теорема 3. Если функция непрерывна в точке а, то существует окрестность точки а, на которой ограничена.

Теорема 4. Если функция непрерывна в точке а и если то существует окрестность точки а, на которой

Больше того, если то

а если , то

Пример 1. Постоянная функция определена и непрерывна для любого значения потому что приращение ее, соответствующее любому приращению равно

и, следовательно, тривиальным образом

Пример 2. Функция определена на всей действительной оси и непрерывна на ней.

В самом деле, функция очевидно, непрерывна для любого х. Поэтому этот же факт имеет место для функции но тогда и для По индукции приходим к непрерывности

Пример 3. Алгебраический многочлен

( заданные числа и натуральное число) есть, очевидно, функция, непрерывная для любого х, потому что есть, как показано выше, непрерывная на действительной оси функция, есть непрерывная на оси функция как произведение двух непрерывных на оси функций и наконец, непрерывна на оси как сумма конечного числа непрерывных на оси функций.

Пример 4. Рациональная функция

( — натуральные числа и — заданные числа) есть непрерывная функция для всех значений х, для которых Это следует из того, что получается как частное многочленов являющихся непрерывными на действительной оси функциями.

Рис. 4.4

Пример 5. Функция непрерывна для всех значений х. Это вытекает из следующих рассуждений.

Имеет место неравенство Чтобы доказать его при помножим его (обе его части) на 2, и тогда левая его часть будет равна длине хорды (рис. 4.4), стягивающей дугу длины Если теперь то Поэтому

и при , а это значит, что функция в точке х (любой) непрерывна.

Пример 6. Функция непрерывна для всех значений потому что

Из полученного неравенства видно, что для всякого можно найти 8 (в данном случае ) такое, что если то

Замечание. В этой книге мы исходим из обычного геометрического определения тригонометрических функций (см. § 1.3, п. 7). Но возможны другие их определения, носящие чисто аналитический характер.

Пример 7. Функция непрерывна для всех значений потому что

Если функция не является непрерывной в точке и в то же время существует конечный предел Нтжа то говорят, что она имеет устранимый разрыв в этой точке. Этим хотят сказать, что можно видоизменить в точке а (если она определена в а) или доопределить ее в этой точке (если она в а не определена), положив Нтжа и после этого станет непрерывной функцией в этой точке.

Пример 8. Функция

очевидно, разрывна в точке . Но этот разрыв устраняется, если положить

Если функция непрерывна для всех х в достаточно малой окрестности точки а, за исключением и не ограничена в этой окрестности, то говорят, что имеет бесконечный разрыв в а.

Пример 9. Функция может служить примером ограниченной функции с неустранимым разрывом в а функция примером функции, имеющей бесконечные разрывы (в точках

Пример 10. Функции являются непрерывными на всей действительной оси функциями. Это следует из того, что функции непрерывны на действительной оси и из теоремы о непрерывности функции от функции.

Замечание. Формально функция называется разрывной в точке а, если она определена в окрестности а, в том числе в а, и не является непрерывной в а. Именно при таком определении отрицание непрерывности записывается при помощи кванторов:

т.е. существует такое, что для всякого найдется удовлетворяющий неравенству для которого

Однако часто говорят, что функции разрывны в точке что с формальной точки зрения недопустимо, потому что эти функции не определены для

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление