Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.8. Еще о числе е

В § 3.5 рассматривалась функция

от целого аргумента и было показано, что если пробегая натуральные числа, то стремится к пределу, который был назван числом Но функция определена на самом деле для произвольных действительных значений исключая Мы покажем, и это важно для приложений, что

где предел понимается как предел функции определенной для указанных

Чтобы доказать (1), достаточно убедиться в том, что (1) верно в двух случаях: когда и когда пробегая не обязательно целые значения.

Если положительное действительное число и его целая часть, и очевидно, что

При очевидно, откуда первый и последний члены цепи стремятся к Поэтому

и так как при этом то мы доказали (1). Пока для

Если теперь то и

т.е. доказано (1) и при Но тогда верно (1). Полагая получим еще

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление