Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убывания функции на интервале. Достаточные критерии локальных экстремумов

Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на отрезке имеет производную на интервале и принимает равные значения на концах его

Тогда на интервале есть хотя бы одна точка с, где производная от равна нулю

Доказательство. Пусть соответственно максимум и минимум на отрезке Они существуют в силу непрерывности на Если выполняются равенства то для всех и в любой точке с Если же указанные равенства одновременно не выполняются, то по крайней мере одно из чисел или отлично от числа пусть для определенности Но тогда максимум функции на отрезке достигается в некоторой точке с интервала следовательно, в этой точке имеет также локальный максимум. Так как в точке с производная существует, то по теореме Ферма она равна нулю. Случай разбирается аналогично. Теорема доказана.

Теорема Коши о среднем. Пусть функции непрерывны на отрезке и имеют производные на интервале одновременно не обращающиеся в нуль. При этом

Тогда на интервале найдется точка с, для которой выполняется равенство

Доказательство. Вводим функцию

Она, очевидно, непрерывна на и имеет производную на интервале Кроме того, Поэтому по теореме Ролля найдется такая точка что

Число потому что в противном случае в силу того, что было бы но по условию одновременно не равны нулю. Поэтому произведение . Разделив на него левую и правую части равенства (2), получим (1).

Как следствие из теоремы Коши при получим теорему Лагранжа.

Теорема Лагранжа о среднем. Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале Тогда на существует точка с, для которой выполняется равенство

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в таком виде:

Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки графика функции а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая (рис. 5.5) есть график непрерывной на функции, имеющей производную на то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой

Рис. 5.5

Равенство (3) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение с удобно записывать в виде

где есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам Тогда формула Лагранжа примет вид

Она верна, очевидно, не только для и для

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке и имеющая неотрицательную (положительную) производную на интервале не убывает (строго возрастает) на

Действительно, пусть тогда на отрезке выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на интервале точка с, для которой

Если по условию на то и

если

Так как неравенства (5) и (6) имеют место, каковы бы ни были где , то в первом случае не убывает, а во втором строго возрастает на отрезке

Теорема 2. Если функция имеет на интервале производную», равную нулю, то она постоянна на

В самом деле, на основании теоремы Лагранжа имеет место

где — фиксированная точка интервала произвольная его точка (она может находиться справа и слева от ); — некоторая, зависящая от и точка, находящаяся между Так как по условию на то для всех

Заметим, что в приведенных теоремах ослабление налагаемых в них условий может привести к неверности утверждений.

Рис. 5.6

Например, функция определяемая равенствами

(рис. 5.6), очевидно, непрерывна на отрезке [0,1], равна нулю на его концах и имеет производную во всех точках (0,1), за исключением только одной точки и для нее уже, очевидно, не выполняется теорема Лагранжа.

Докажем теорему, которая дает достаточный критерий существования локального экстремума функции.

Теорема 3. Если функция непрерывна в окрестности точки и имеет производную справа от слева отхо, то есть точка локального минимума (максимума) .

Выражение "справа (слева) от означает "на достаточно малом интервале с левым (правым) концом .

На основании теоремы 1 функция справа от не убывает (не возрастает) а слева не возрастает (не убывает), и так как непрерывна в окрестности точки то она имеет в этой точке локальный минимум (максимум).

Заметим, что в этой теореме существование производной в самой точке не предполагалось.

Следующая теорема дает достаточный критерий существования локального экстремума функции по знаку второй производной.

Теорема 4. Если функция удовлетворяет условиям то есть точка локального минимума (максимума) функции

Доказательство. Существование второй производной в точке влечет за собой существование первой производной в окрестности точки тем более, непрерывность в этой окрестности. Из того, что следует, что возрастает (убывает) в точке и так как то справа от а слева от Теперь утверждение теоремы следует из предыдущей теоремы.

Мы знаем, что непрерывная на отрезке функция, имеющая всюду на интервале положительную производную, строго возрастает на отрезке . С другой стороны, пример, который приводится ниже, показывает, что если непрерывная в окрестности точки функция имеет положительную производную в этой точке, то отсюда не следует, что возрастает в некоторой достаточно малой окрестности

Таким образом, возрастание функции в точке не влечет, вообще говоря, ее возрастание в некоторой окрестности этой точки.

Пример 1. Функция где определяется равенством (5) предыдущего параграфа, имеет производную в точке следовательно, возрастает в этой точке. В то же время она не возрастает на любом интервале, содержащем эту точку. Действительно, для

При

откуда видно, что в любом интервале, содержащем в себе нулевую точку, производная принимает значения разных знаков и, следовательно, не изменяется на нем монотонно.

Пример 2. На отрезке дана функция

Она непрерывна, имеет конечную производную всюду на за исключением где

Из (7) следует, что в точке убывает. Уравнение имеет два корня: Кроме того, следовательно, есть точка локального максимума, а точка локального минимума.

Пример 3. График функции

распадается на две непрерывные ветви, соответствующие изменению на На каждом из этих интервалов функция монотонно возрастает от до Это легко видеть, если учесть, что в силу условия производная и при выражение а меньше нуля.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление