Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.2. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со скалярным произведением

Пусть есть действительное n-мерное пространство. Произвольным его точкам (векторам)

приведем в соответствие число

называемое скалярным произведением векторов х и у.

Скалярное произведение, очевидно, обладает следующими свойствами:

2) есть линейная форма по х, т. е. для любых векторов х, у, z и чисел

таким образом, в силу 1)

3) для любого вектора х, а из равенства следует, что так как тогда

Введем следующее определение: если есть линейное действительное множество и любым его двум элементам х, у приведено в соответствие число (х,у), подчиняющееся условиям то будем говорить, что есть линейное пространство со скалярным произведением (где введено скалярное произведение).

Теперь можно сказать, что пространство в котором введено понятие (1), есть пространство со скалярным произведением.

Известны и другие линейные пространства со скалярным произведением. Некоторые из них мы будем изучать (см. гл. 14).

Пусть х и у — два элемента какого-либо линейного множества где введено скалярное произведение, и произвольное действительное число. Тогда в силу свойств

Полагая

получим

Поэтому из (3) следует:

и мы получили важное неравенство (неравенство Буняковского).

При т.е. если есть нулевой элемент, оно тоже верно, потому что

Далее, для любых двух элементов имеем

и мы получили другое важное неравенство

Арифметическое значение корня квадратного из называется нормой х и обозначается так: (см. следующий параграф).

n-мерное пространство где введено скалярное произведение (1), называется евклидовым n-мерным пространством.

Неравенства (5), (7) для элементов евклидова n-мерного пространства превращаются в следующие неравенства для систем чисел

Из (8) следует неравенство

а из (9) следует неравенство

потому что можно считать, что эти неравенства применены к неотрицательным числам Отметим еще неравенства

Первое из них вытекает из (10), если считать , а второе проверяется непосредственно после возведения его частей в квадрат.

Соотношение (8) называется неравенством Коши, а (9) есть частный случай неравенства Минковского.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление