Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.3. Линейное нормированное пространство

Если есть линейное множество элементов х, у,... и каждому его элементу х приведено в соответствие число удовлетворяющее ниже формулируемым трем свойствам 1)-3), то говорят, что есть линейное нормированное пространство, а число называют нормой элемента х.

1) для любого из равенства следует, что т. е. есть нулевой элемент линейного множества

2) для любого и любого числа а (комплексного или действительного, в зависимости от того, будет ли комплексным или действительным).

3) , каковы бы ни были

Евклидово пространство есть нормированное пространство, если в качестве нормы взять

Чтобы доказать, что величина (1) есть норма, надо проверить, что для нее выполняются свойства нормы. В самом деле,

1) (если же , то все координаты , т.е. );

3) (это есть неравенство (10) предыдущего параграфа).

Обычно в случае евклидова пространства (но только в этом случае) норму в точке х записывают так:

и мы будем именно так поступать.

Отметим, что в двух- и трехмерном евклидовых пространствах норма х есть длина вектора х.

Возможны и другие (не евклидовы) нормировки пространства Например, для точек (векторов) можно ввести норму

или

Тот факт, что (2) есть норма, так же как то, что (3) при есть норма, читатель легко может проверить.

Неравенство 3) называется неравенством треугольника. В двумерном или трехмерном случае евклидова пространства оно как раз и выражает известный геометрический факт, что длина стороны треугольника не превышает суммы длин остальных его двух сторон, и кстати доказывает этот факт аналитическим путем.

Из неравенства 3) следует (если заменить в нем х на или у на что

поэтому

В нормированном пространстве можно определить понятие предела. Будем говорить, что последовательность элементов сходится (стремится) к элементу и писать или если

Если последовательность элементов имеет предел то этот предел единственный, потому что из того, что следует

откуда т.е.

Так как то из того, что сходится к х, следует, что стремится к

Если а — числа и если то

В самом деле,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление