Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.4. Вектор-функция в n-мерном евклидовом пространстве

Пусть есть множество действительных чисел Если каждому в силу определенного закона приведен в соответствие вектор n-мерного пространства

то будем говорить, что этим определена вектор-функция на

Обычные функции (приводящие в соответствие каждому число ) называют также скалярными функциями.

Будем говорить, что вектор-функция имеет предел в точке равный вектору и писать

если

или, что все равно (пояснения ниже), если

Равенство (3) утверждает, что скалярная функция от имеет предел при равный нулю, но это, как мы знаем, предполагает, что она определена на некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой точки но тогда и все компоненты определены на этой окрестности.

Имеют место неравенства (см. § 6.2, (10))

из которых следует, что если выполняется (3), то выполняется и (4) для всех и наоборот.

По определению вектор-функция непрерывна в точке если существует предел равный

Это определение, очевидно, эквивалентно утверждению, что компоненты в точке непрерывны.

Производная от вектор-функции в точке определяется как предел:

если, конечно, он существует. Производная порядка от определяется по индукции:

При этом, очевидно, существование ее влечет за собой существование производных порядка от компонент и наоборот, т.е. имеет место равенство

Производные первого и второго порядков обозначают и так:

Если вектор-функции, скалярная функция, то имеют место равенства

где, конечно, предполагается, что пределы или производные, фигурирующие в правых частях равенств, существуют. Эти равенства тривиальным образом доказываются переходом от векторов к соответствующим координатам; например,

Но можно рассуждения проводить чисто векторным путем, например, полагая получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление