Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая

Пусть задана непрерывная вектор-функция

Множество всех точек упорядоченное при помощи данного параметра называется непрерывной кривой. Мы ее будем обозначать, например, буквой

Когда возрастает от a до b точка выходит из некоторой точки и приходит в некоторую точку

Говорят, что параметр ориентирует данную кривую При кривая приобретает реальный смысл (рис. 6.1). На ней можно отметить стрелку, указывающую общее направление движения точки по при возрастании

Если сделать замену на при помощи строго возрастающей непрерывной функции то получим новую вектор-функцию

определяющую ту же кривую но уже при помощи параметра В данном случае, когда возрастает от с до возрастает также t от а до b.

Говорят, что в этом случае замена на не изменяет ориентацию

Другое дело, если функция строго убывает. Тогда и теперь и когда возрастает от до с, параметр убывает от до а и направление движения подвижной точки изменяется на противоположное. В этом случае говорят, что вектор-функция (2) определяет ту же кривую, но ориентированную противоположно.

Рис. 6.1

Подчеркнем, что вектор-функция (1) определяет не только кривую (множество точек), но и ее ориентацию (характер упорядочения точек при помощи t). В знак того, что уже мыслится как упорядоченное (посредством или множество, пишут, например,

Ту же кривую ориентированную противоположно, можно обозначить теперь через

Вместо того, чтобы говорить «кривая, определяемая вектор-функцией », будем часто говорить "кривая

Кривая называется гладкой на (на ), если ее можно задать при помощи гладкой вектор-функции т.е. непрерывной и имеющей непрерывную не равную нулю производную на (на ), или, что, очевидно, все равно, если компоненты вектор-функции есть гладкие скалярные функции на (на ), имеющие производные, одновременно не равные нулю:

Мы будем называть параметр допустимым параметром гладкой кривой если он связан с при помощи равенства

где не только непрерывна и строго монотонна, но имеет непрерывную производную, не равную нулю на (на ). Таким образом, производная на самом деле имеет один и тот же знак на или Если допустимый параметр, то сформулированное выше на языке определяющее свойство гладкой кривой, очевидно, сохранится, если его формулировать на языке потому что вектор-функция имеет непрерывную производную на (на ), к тому же не равную нулю:

В двумерном случае гладкая кривая определяется двумя уравнениями:

где имеют непрерывные, одновременно не равные нулю производные. Если, например, то существует интервал на котором имеет обратную функцию тогда Обычно в этом случае говорят, что функция задана параметрически равенствами (4). Ее производная вычисляется по формуле

Говорят, что формула (5) выражает производную от функции в параметрическом виде. Очевидно также, что

если допустить, что существуют вторые производные

Непрерывная кривая (1) называется также кривой Жордана (жордановой кривой) по имени французского математика Жордана (1838-1922). Если при этом то кривую называют замкнутой (замкнутой кривой Жордана). Если, кроме того, из того факта, что следует только, что либо либо одно из чисел равно а, а другое то кривая называется замкнутой самонепересекающейся кривой Жордана.

Если из равенства или следует то говорят, что есть незамкнутая самонепересекающаяся кривая.

При мы получим плоскую непрерывную кривую

Например, уравнения

определяют гладкую плоскую кривую. Когда в непрерывно изменяется от до соответствующая точка (х,у) описывает бесконечное число раз окружность

В связи с этим говорят, что уравнения (8) суть параметрические уравнения окружности (9). В данном случае параметр в имеет геометрический смысл; это есть угол, образованный радиус-вектором точки (х,у) с положительным направлением оси х.

Нужно сказать, что определение непрерывной кривой является настолько общим, что имеются примеры удовлетворяющих этому определению математических объектов, которые весьма сильно отклоняются от нашего обычного представления о кривой, в особенности, если разрешить ей самопересекаться.

Доказано, например, что можно определить такие непрерывные на отрезке [0,1] функции

что при непрерывном возрастании переменная точка отправляясь при от положения пробежит буквально все точки квадрата и при окажется в верхнем правом его углу . Таким образом, эта кривая (кривая Пеано) заметает буквально все точки квадрата , и при этом отдельные его точки заметаются кривой не один раз.

Пример 1. Эллипс

есть ограниченная гладкая замкнутая самопересекающаяся кривая, потому что также описывается параметрически уравнениями

определяющая ограниченную гладкую замкнутую кривую в том понимании терминов "гладкость", "замкнутость", как это определено выше в этом параграфе.

Пример 2. Астроида Г

есть ограниченная непрерывная кусочно гладкая замкнутая кривая, потому что уравнение (13) эквивалентно следующим двум:

причем имеется только одна пара значений в которым соответствует одна и та же точка Из (13) видно, что кривая симметрична относительно осей координат, а из (14) видно, что она непрерывна; производные от х и у по в тоже непрерывны и одновременно не равны нулю всюду, за исключением точек Поэтому куски соответствующие интервалам гладкие (см. § 6.12, рис. 6.14).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление